^г) Эта процедура аналогична способу вычисления функций Грина в кван­товой электродинамике (ср. IV § 76).

2) Аналогичное разложение в квантовой теории поля называют формулой Челлена—Лемана (ср. IV §§ 101, 108).

*% = E_m{N + l)-E₀(N), *X = E₀(N)-E_m(N-l) (8,9)

для энергий возбуждения, определенных по разностям между возбужденным уровнем системы с определенным числом частиц и основным уровнем системы, содержащей на одну частицу больше или меньше. Индексы ( + ) и (—) указывают, что эти энергии

<4^+>>И, e£r><|i. (8,10)

Действительно, заметив, что E₀(N-\--l)—E₀(N)&dE₀/dN = ц — химический потенциал при Г = 0, пишем, например,

W = E_m(N + \)-E₀(N+\)+E₀(N + l)-E₀(N)&

&[E_m(N + \)-E_Q(N + \)] + \i.

Но разность в квадратных скобках (где обе энергии относятся к системам с одинаковым числом частиц) положительна по опре­делению основного состояния, откуда и следует, что е£^} > \i. К смыслу определения (8,9) мы еще вернемся ниже,

Сдвиг полюсов членов суммы (как функций со), выражаемый слагаемыми + i0 в их знаменателях, эквивалентен появлению 8-функционных мнимых частей согласно правилу¹)

P-J-=F»t6(x). (8,11)

х±Ю

Применив его к (8,7), найдем вещественную часть гриновской функции

Re G (со, р) = 4л.зуР W(P-P_CT) Д_аа(р + Р„П _{(g щ}

L co-f-р,—е<^> ¹ ш + ц.— г⁽~> J ^v ' '

т

и ее мнимую часть (здесь надо учесть, что все разности е„' —ц > 0,. а все разности е£>— \i < 0):

IrnG(co, р) =

(_4я*2Л_и6(р-Р_и)8(со + и.-е£') при со>0,

= i ^т (8,13)

I 4л*2Хб(Р + Р_и)б> + И-_!5<_п-⁾) при со<0.

Отсюда видно, что всегда

*) Ср. III (43,10). Знак Р означает, что при интегрировании выражений вида f(x)/(x±iO) интеграл должен пониматься в смысле главного значения

Второй член возникает от обхода полюса х = — Ю (или х = Ю) по полуок­ружности сверху (или снизу).

sign ImG (со, р) = —signco. (8,14)

Отметим также асимптотическое поведение функции G(co, р) при со —>■ со. Из (8,7) имеем

G(co, р)«^£[Л_т6(р-Р_й) + В_и8(р + РЛ.

Коэффициент при 1 /со равен, как легко убедиться, компоненте Фурье по г_х—г₂ от

±{$a(t, TjV+V, Г,)Г₂)Ф_а(/, Г₁)} = 6(Г₁-Г,),

т. е. единице. Таким образом,

G(co, р)—*- 1/со при |со[ —»-оо. (8,15)

Главное свойство функции Грина в импульсном представле­нии состоит в том, что ее полюсы могут лежать только в точках co = e_m—(J-, где г_т—определенные указанным выше образом дискретные энергии возбуждения системы. Каждая из этих энергий отвечает определенному значению импульса системы Р_ст, о чем свидетельствует наличие соответствующей б-функции в каждом полюсном члене функции Грина.

Нас, однако, интересует здесь функция Грина макроскопи­ческого тела. Это значит, что рассматривается предел, когда объем V и число частиц /V стремятся к бесконечности (при за­данном конечном значении отношения N/V). В этом пределе расстояния между уровнями системы стремятся к нулю, по­люсы функции G(co, р) сливаются и можно утверждать лишь, что эта функция имеет мнимую часть при значениях со + [л в непрерывной области возможных значений энергии возбужде­ния системы. Исключение составляют, однако, возбуждения, в которых весь импульс р макроскопической системы может быть приписан всего одной квазичастице с определенным за­коном дисперсии е(р) (напомним, что в основном состоянии системы р = 0); таким значениям отвечают изолированные по­люсы функции Грина.

Если же импульс р складывается из импульсов нескольких квазичастиц, то энергия системы уже не определяется одно­значно значением р: заданный импульс системы может скла­дываться различным образом из импульсов квазичастиц, сумма энергий которых пробегает при этом непрерывный ряд значе­ний; интегрирование по всем таким состояниям устраняет полюс.

Таким образом, уравнением

G-Чв-ц, р) = 0 (8,16)

определяется закон дисперсии квазичастиц (В. Л. Бонч-Бруевич, 1955).

Подчеркнем, что способ определения энергии возбуждения, согласно (8,9), как раз соответствует определению энергии квазичастиц в теории Ландау. Действительно, разность е£> есть изменение энергии системы при добавлении к ней одной час­тицы; приписав все это изменение одной квазичастице, мы определяем е в соответствии с (1,3). Аналогичным образом, — е^> есть изменение энергии при удалении одной частицы, так что е^> есть энергия удаленной квазичастицы. Естественно поэтому, что е^'<ц, так как в теории Ландау квазичастица может быть удалена только изнутри ферми-сферы¹).

Поскольку все фигурирующие в разложении (8,7) возбуж­денные состояния получаются из основного состояния добав­лением или удалением одной частицы (со спином 1/2), то ясно, что для системы фермионов полюсы функции Грина определяют лишь спектр элементарных возбуждений фермиевского типа. Как определяется бозевская ветвь, будет показано ниже, в § 18.

Описание спектра макроскопической системы с помощью понятия о квазичастицах с определенной зависимостью е от р — приближенное описание, точность которого падает с увеличе­нием |е—Отклонение от картины независимых квазичастиц проявляется в сдвиге полюса функции Грина в комплексную область: энергия е(р) становится комплексной. Согласно общим правилам квантовой механики (см. III § 134), комплексность уровней энергии означает конечность времени жизни % воз­бужденного состояния системы (т~1/| Ime |). Сама же вели­чина Ime характеризует степень «размазанности» значений энергии квазичастицы (ширина уровня). Разумеется, такая трактовка имеет смысл лишь при условии достаточной малости мнимой части: |Ime|^|e—ц\. Как было объяснено в § 1, это условие действительно выполняется для слабо возбужденных состояний системы, поскольку | Im е |~1/т <х> (р—p_Fy, в то время как Re(е—ц) со \р—р_р\.

Необходимый знак Ime обеспечивается определенностью знака мнимой части функции Грина. Действительно, вблизи своего полюса эта функция имеет вид

^{G(co, р)«—, 2 . . , (8,17)}

*) Обратим внимание на то, что в определение энергии квазичастиц е_т' возбужденный уровень системы Е_т входит со знаком минус. С этим связан и тот факт, что импульс этих квазичастиц р= —Р_т, как это видно из б-функ-ции б(р + Р|в) в соответствующих членах разложения (8,7).

^{причем постоянная Z > 0, как это следует из положительности коэффициентов А}_т^{, В}_т ^{в разложении (8,7); величину Z ча­сто называют (по аналогии с квантовой электродинамикой)}

ImG;

перенормировочной постоянной. Мнимая часть функции Грина

Zlme

|fi> + |l-

Заметив, что это выражение относится к значениям с»«е—р, и сравнив его знак с правилом (8,14), найдем, что

1те<0-при Ree>p,,

1те>0 при Ree<p,, \ > )

как и должно быть: такой знак Im е в обоих случаях (е£° и е^т* в (8,9)) соответствует правильной отрицательной мнимой до­бавке к энергии возбужденного состояния Е_т.

К аналитическим свойствам гриновской функции мы вер­немся еще в § 36, где этот вопрос будет рассмотрен сразу для общего случая произвольных температур.