§ 87. Правила сумм для формфактора

Динамический формфактор удовлетворяет определенным интегральным (по частотам со) соотношениям — правилам сумм. Вывод одного из них основан на правиле коммутации между

операторами п_к (t) и ftk(0- Коммутатор гейзенберговских опера­торов, взятых в одинаковый момент времени, совпадает с ком­мутатором шредингеровских операторов я_к и n_k. Оператор n_k определяется выражением (86,9) и требуемый коммутатор дается формулой

кп£-п£ъ=-£кЧ1, (87,1)

где m—масса частицы жидкости³⁰).

Исходим из выражения компоненты фурье-разложения функ­ции о (t, г) только по координатам

по (t, k) = J e~^ik c.-r.) <бЯ {t_it г,) бЯ (t_t, r₂)> d³ (Xi—x,)'.

Имея в виду, что подынтегральное выражение зависит только от r_t—г₂, заменяем интегрирование по d³(Xi—х₂) интегрирова­нием по d?x_xd?xJV\ произведя его под знаком усреднения, получим

о (t, k) = --L <6n_k (tj 8n__k (/,)>. (87,2)

Вычислим значение производной da(t,k)/dt при ^=0. Поскольку o(t,k) зависит только от разности t = t_x —t₂, то da(t, k) _ 1 I да да' dt ~ 2 [ dtj. dt_2l

и после подстановки сюда (87,2)

^d°di ^{k) =} W ^<6"^{k 6}""^k (^) —6«k (t_t) 6n__k (r₂)>.

Каждый из двух членов этого выражения зависит только от абсолютной величины вектора к; на этом основании заменим во втором члене к на —к. Положив затем ti = t₂ и учтя, что п-к=Пк, найдем, что разность в угловых скобках совпадает с коммутатором (87,1). Таким образом, находим да (t, k)

dt

2=0 2m

С другой стороны, представив o(t,k) в виде фурье-интеграла по частотам, имеем

со со

da(t, k) dt

Сравнив оба выражения производной, получим искомое соот­ношение

]«*{?». = (87,3)

— со

(G. Placzek, 1952). Подчеркнем, что оно справедливо при любых k. Для перехода в этом соотношении к классическому пределу (л—>-0) надо записать интеграл в его левой стороне в виде

da 1л

J со [а (со, k) — а(— со, Щ о

и, согласно (86,14), подставить в него

I т

о (со, k)—а (—со, k) « (со, k).

После этого множители % в обеих сторонах равенства сокра­щаются и остается

00

С , , ,. da rr k³¹

Применим формулу (87,3) к бозе-жидкости при 7 = 0 и рас­смотрим область малых значений k. При k—>-0 главный вклад в интеграл дает б-функционный пик в формфакторе о (со, к), возникающий в (86,13) от переходов с рождением одного фонона (поскольку в основном состоянии жидкости фононы отсутствуют, то переходов с уничтожением фонона при 7 = 0 нет). Этот член имеет вид Лб(со — uk), где %ик—энергия фонона (и—скорость звука). Подставив же его в качестве а (со, k) в (87,3), найдем коэффициент Л, и в результате

о(со,к) = ^8((о-ик). (87,4)

Интегрирование этого выражения по формуле (86,7) дает статический формфактор

(R. P. Feynman, 1954)^L). Поскольку эта формула относится к области малых значений k, то ее фурье-обращение дает асимп­тотическое выражение корреляционной функции при больших г:

^{v(r) = —}₀ ^{32 . (87,6)}

(для проверки этой формулы см. интеграл, приведенный в при­мечании на стр. 411). При 7 = 0 формула (87,6) справедлива до сколь угодно больших расстояний. При низких, но конеч­ных температурах она верна вплоть до расстояний г~%и/Т, на которых флуктуации перестают быть чисто квантовыми. На еще больших расстояниях закон (87,6) сменяется экспоненциаль­

ным убыванием (если отвлечься от вклада ван-дер-ваальсовых сил—см. § 83)¹).

Еще одно правило сумм можно получить из установленной в § 86 связи формфактора с некоторой обобщенной восприим­чивостью а(со,&). Эта связь дается формулой (86,20), которая при Г = 0 сводится (для со > 0) к

па (со, k) = 2л1та(со, к). (87,7)

Согласно формулам Крамерса — Кронига (см. V (123,15)),

Rea(co,fe)=-Lpf^Im?⁽⁽⁰'' ^feW. ^v ' ' п J со —со

— СО

Положив здесь со = 0 и учтя, что величина а (0, k) вещественна²), пишем

со

a(0,fc) = -^llma(<B,ft)^. (87,8)

о

В пределе к—>0 имеет место соотношение

(87,9)

Оно следует из того, что в статическом медленно меняю­щемся в пространстве слабом поле V имеет место условие равновесия р, + с/= const, так что включение внешнего поля эквивалентно изменению химического потенциала на —U. В пределе к—»-0 имеем поэтому из (86,18)

бгё = --|-с/«-с/|сс(0, r₁-r₂)d*(x_i-x₂)=-Ua(Q, к = 0),

откуда и следует (87,9).

Собирая полученные формулы (87,7—9), найдем, таким образом, следующее правило сумм для формфактора жидкости