- •Часть 2
- •Глава I
- •§ 1. Элементарные возбуждения в квантовой ферми-жидкости
- •§ 2. Взаимодействие квазичастиц
- •1) В явной матричной форме: pFm'
- •§ 3. Магнитная восприимчивость ферми-жидкости
- •§ 3] Магнитная восприимчивость ферми-жидкости 25
- •§ 4. Нулевой звук
- •1) Колебания, соответствующие нулевому звуку в слабо неидеальном ферми-газе, были впервые рассмотрены ю. Л. Климентовичем и в. П. Силиным (1952).
- •§ 5. Спиновые волны в ферми-жидкости
- •§ 6. Вырожденный почти идеальный ферми-газ с отталкиванием между частицами
- •Глава II
- •§ 7. Функция Грина макроскопической системы
- •2) Мы будем называть оператор н', как и н, гамильтонианом.
- •§ 8. Определение энергетического спектра по функции Грина
- •2) Аналогичное разложение в квантовой теории поля называют формулой Челлена—Лемана (ср. IV §§ 101, 108).
- •§ 9. Функция Грина идеального ферми-газа
- •§ 10. Распределение частиц ферми-жидкости по импульсам
- •§11. Вычисление термодинамических величин по функции Грина '
- •§12] Т-операторы в представлении взаимодействия
- •§ 13. Диаграммная техника для ферми-систем
- •X) Чтобы не разбивать изложения, доказательство этой теоремы отложиы на конец параграфа.
- •3 Е. М. Лифшнц, л. П. Питаевскнй
- •§ 14. Собственно-энергетическая функция
- •§ 15. Двухчастичная функция Грина
- •§16. Связь вершинной функции с амплитудой рассеяния квазичастиц
- •§ 17. Вершинная функция при малых передачах импульса
- •§ 18. Связь вершинной функции с функцией взаимодействия квазичастиц
- •§ 18] Функция взаимодействия квазйчасгиц 91
- •§ 19. Тождества для производных от функции Грина
- •1) Оно аналогично калибровочному преобразованию в квантовой электродинамике (ср. III (111,8—9)).
- •2) Ср. Более подробные рассуждения ниже, в § 23.
- •4 Е. М. Лнфшиц, л. П. Пнтаевский
- •§ 20. Вывод связи между предельным импульсом и плотностью
- •§ 20] Связь между предельным импульсом и плотностью
- •2) Формула же (2,11) для эффективной массы может быть выведена с помощью соотношения (17,17) и тождеств (19,11) и (19,15).
- •§ 21. Гриновская функция почти идеального ферми-газа
- •Глава III
- •§ 22. Элементарные возбуждения в квантовой бозе-жидкости
- •§ 23. Сверхтекучесть
- •2) Подробное изложение гидродинамики сверхтекучей жидкости дается в другом томе этого Курса (том VI).
- •I. Найти предельный закон температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения а жидкого гелия вблизи абсолютного нуля (к. R. Atkins, 1953).
- •2. Найти закон дисперсии епр (р) для примесных частиц в движущейся
- •§ 24] Фонолы в жидкости 119
- •§ 24. Фононы в жидкости
- •§ 24] Фононы в жидкости 121
- •§ 25. Вырожденный почти идеальный бозе-газ
- •2NPaN2 mV
- •§ 26. Волновая функция конденсата
- •2) Добавление или удаление частицы надо представлять себе как совер- шаемое бесконечно медленно. Этим исключается возбуждение системы пере- менным полем.
- •5 Е. М. Лифшиц, л. П. Патаевсквй
- •§ 27. Температурная зависимость плотности конденсата
- •§ 28. Поведение сверхтекучей плотности вблизи л-точки
- •§ 29. Квантованные вихревые нити
- •2) Эго утверждение не относится, однако, к близкой окрестности х-точки; здесь толщина вихревой нити порядка величины корреляционного радиуса флуктуации.
- •1. Найти скорость движения и импульс кругового вихревого кольца.
- •2. Найти закон дисперсии малых колебаний прямолинейной вихревой нити (w. Thomson, 1880).
- •§ 30. Вихревая нить в почти идеальном бозе-газе
- •§ 31. Гриновские функции бозе-жидкости1)
- •§ 32. Диаграммная техника для бозе-жидкости
- •2) Точнее, входящей в вершину волнистой линии должен сопоставляться множитель s, а выходящей — множитель е*; ввиду вещественности е эти множители фактически одинаковы.
- •§ 32] Диаграммная техника для бозе-жидкости 155
- •2) Поскольку f—четная функция своего аргумента, то выбор общего знака р здесь несуществен.
- •§ 33. Собственно-энергетические функции
- •§ 34. Распад квазичастиц
- •2Л2(р —рс)3 ЗпрЛ4
- •§ 35. Свойства спектра вблизи точки его окончания
- •1) Содержание этого параграфа принадлежит л. П. Питаевскому (1959).
- •§ 36. Гриновские функции при конечных температурах1)
- •§ 36] Гриновские функции при конечных температурах 173
- •§ 37. Температурные функции Грина
- •§ 38. Диаграммная техника для температурных функций Грина
- •Глава V
- •§ 39. Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр
- •§ 391 Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр
- •§ 40. Сверхтекучий ферми-газ. Термодинамические свойства
- •1) При больших и первый член разложения / (и) по 1/и:
- •2) Для разложения интеграла / (и) при и —»• 0 прибавляем и вычитаем из него интеграл
- •§ 41. Гриновские функции сверхтекучего ферми-газа
- •§ 42. Температурные гриновские функции сверхтекучего ферми-газа
- •1) Эту формулу можно получить, написав 1 1 г 1 , 1
- •§ 43. Сверхпроводимость металлов
- •§ 44. Сверхпроводящий ток
- •2) Феноменологическая электродинамика сверхпроводников изложена в другом томе этого курса—см. VIII глава VI.
- •2) Изложенный вывод уравнения (44,8) принадлежит л. Д. Ландау (1941).
- •§ 45. Уравнения Гинзбурга — Ландау
- •2) Этот выбор (в том числе отождествление m с истинной массой электрона) не имеет, конечно, глубокого смысла и условен в той же мере, как и определение ns в (44,2).
- •§ 46. Поверхностное натяжение на границе сверхпроводящей и нормальной фаз
- •8 Е. М. Лифшнц, л. П. Патаюаквй
- •§ 47. Два рода сверхпроводников
- •2) Не путать его с промежуточным состоянием сверхпроводников первого рода, возникающим при определенных конфигурациях образца и внешнего магнитного поля!
- •§ 47] Два рода сверхпроводников 229
- •§ 48. Структура смешанного состояния
- •1) В этом параграфе буква г будет обозначать цилиндрическую координату—расстояние от оси.
- •J) Второй член в (48,13), будучи выражен через ток j, принимает вид
- •2) Наиболее выгодна, по-видимому, решетка, образованная равносторонними треугольниками с вихревыми нитями в их вершинах.
- •§ 49. Диамагнитная восприимчивость выше точки перехода
- •§ 49] Диамагнитная восприимчивость выше точки перехода 241
- •§ 50. Эффект Джозефсона
- •§ 51. Связь тока с магнитным полем в сверхпроводнике
- •§ 52. Глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник
- •§ 53. Сверхпроводящие сплавы
- •§ 54. Эффект Купера при отличных от нуля орбитальных моментах пары
- •2) Переход происходит при температуре —ю-3 к. Заметим, что малость Тс обеспечивает существование области применимости теории нормальной ферми-жидкости к жидкому Не3.
- •Глава VI
- •§ 55. Электрон в периодическом поле
- •2. Найти закон дисперсии для одномерного движения частицы в слабом периодическом поле 0 (х).
- •§ 56. Влияние внешнего поля на движение электрона в решетке
- •§ 56J влияние внешнего поля на движение электрона
- •§ 57. Квазиклассические траектории
- •§ 58. Квазиклассические уровни энергии
- •§ 58] Квазиклассические уровни энергии 285
- •1) При движении в однородном магнитном поле адиабатическим инвариантом, не зависящим от выбора векторного потенциала, является интеграл
- •2) Для свободных электронов (см. Примечание на стр. 282) условие (58,7)
- •§ 59. Тензор эффективных масс электрона в решетке
- •§ 60. Симметрия состояний электрона в решетке в магнитном поле
- •§ 61. Электронный спектр нормальных металлов
- •§ 62. Гриновская функция электронов в металле
- •§ 62] Гриновская функция электронов в металле 305
- •§ 63. Эффект де Гааза — ван Альфена
- •2) Ср. V § 60, где этот эффект рассматривался для идеального электронного газа.
- •2) Ср. VIII § 18, где аналогичное условие выведено для электрического случая.
- •§ 64. Электрон-фононное взаимодействие
- •§ 65. Влияние электрон-фононного взаимодействия на электронный спектр в металле
- •2) Излагаемые в этом параграфе результаты принадлежат а. Б. Мигдалу (1958).
- •11 В. М. Лифшнц, л. П. Питаевский
- •§ 66. Электронный спектр твердых диэлектриков
- •§ 67. Электроны и дырки в полупроводниках
- •§ 68. Электронный спектр вблизи точки вырождения
- •1). Такая ситуация имеет место для дна дырочной зоны в алмазе, кремнии и германии, которые все имеют решетку одинакового типа.
- •1) Примером является одна из модификаций олова—серое олово.
- •Глава VII
- •§ 69. Уравнение движения магнитного момента в ферромагнетике
- •1) Экспериментальные данные о гиромагнитных отношениях g, дающие для ферромагнетиков значения, очень близкие к 2, свидетельствуют о спиновой природе ферромагнетизма.
- •§ 70. Магноны в ферромагнетике. Спектр
- •§ 71. Магноны в ферромагнетике. Термодинамические величины
- •§ 72. Спиновый гамильтониан
- •§ 72] Спиновый гамильтониан 357
- •2. Пренебрегая взаимодействием между спинами, вычислить намагниченность парамагнетика при произвольном соотношении между р§ и т.
- •§ 73. Взаимодействие магнонов
- •§ 74. Магноны в антиферромагнетике
- •Глава VIII
- •§ 75. Гриновская функция фотона в среде
- •§ 76. Флуктуации электромагнитного поля
- •§ 77. Электромагнитные флуктуации в неограниченной среде
- •2. То же для тела с магнитной поляризуемостью a,-j (to) *).
- •3. Определить флуктуации электромагнитного поля в условиях задачи 1 считая, однако, что температура среды много ниже температуры тела.
- •2 27 Eha/t_l г2 eftco/r_,
- •§ 78. Флуктуации тока в линейных цепях
- •§ 80. Тензор напряжений ван-дер-ваальсовых сил
- •§ 81. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Общая формула
- •§ 82. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Предельные случаи
- •§ 83. Асимптотическое поведение корреляционной функции в жидкости
- •§ 84. Операторное выражение для диэлектрической проницаемости
- •§ 85. Вырожденная плазма
- •§ 85] Вырожденная пллзма 417
- •2 YnVTe3
- •Глава IX
- •§ 86. Динамический формфактор жидкости
- •§ 87. Правила сумм для формфактора
- •§ 87] Правило сумм для формфактора 431
- •§ 88. Гидродинамические флуктуации
- •§ 89. Гидродинамические флуктуации в неограниченной среде
- •1. Найти корреляционную функцию флуктуации числа растворенных час- тиц в слабом растворе.
- •2. Найти корреляционную функцию флуктуации давления в жидкости, обладающей большой диспергирующей второй вязкостью £ (со) (связанной с медленной релаксацией некоторого параметра).
- •§ 90. Операторные выражения для кинетических коэффициентов
- •§91. Динамический формфактор ферми-жидкости
- •198, 207, 208, 213, 263 Восприимчивость парамагнетика 358, 359
- •216, 245, 276, 370 Квазиимпульс 267
- •118, 196, 208 Сила взаимного трения 142 Скелетная диаграмма 74, 84 Случайные потоки 434
- •384, 425, 435 Форм-фактор динамический 422
- •1) Этот указатель дополняет оглавле] включены термины и понятия, непосредствен
- •399, В формуле (81,6) в последнем выражении должно быть
2 YnVTe3
fyaJV, Т
3/2
(85,23)
(А. А. Веденов, 1959). Согласно общей теореме о малых добавках, эта же формула, выраженная через другие термодинамические переменные, дает поправку к другим термодинамическим потенциалам.
Для невырожденной плазмы все производные дпа/дца = па/Т, и тогда (85,23) переходит в формулу
3/2]
КОр "
(85,24)
для поправки к свободной энергии, совпадающую с V (78,12).
В случае сильного вырождения электронов в плазме (Т <^ре) производная дпе/дце ~ ne/[ie<^.ne/T. В сумме по а в (85,23) можно тогда вообще пренебречь электронным членом, и мы снова получаем формулу (85,24) с той лишь разницей, что сумма в ней берется лишь по сортам ионов в плазме. Таким образом, при сильном вырождении электроны вообще не влияют на радиус экранирования и на корреляционную часть термодинамических величин плазмы.
Глава IX
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
§ 86. Динамический формфактор жидкости
Рассмотренная в V § 116 корреляционная функция флуктуации плотности является частным случаем более общей функции, связывающей флуктуации плотности не только в различных точках пространства, но и в различные моменты времени. В классической теории эта функция определяется как среднее значение
na(t; l-j, г2) = <8я(г£, ri)8n(tif r2)>, (86,1)
где t = tt —t2\ из определения а вынесен множитель n = NlV — средняя плотность числа частиц. Для однородной и изотропной среды (жидкость, газ) функция (86,1) зависит от rj и г2 только через расстояние r = \rt — г2| между двумя точками, что и будет предполагаться ниже.
В квантовой теории аналогичная функция определяется с помощью симметризованного произведения зависящих от времени (гейзенберговских) операторов плотности как
no(t, r) = ^<8n(ti, rj)6n(i2, r2) + 8n(t2, г2)8я(^, rj) (86,2)
(в соответствии с общим способом определения согласно V (118,4)). Некоторые преимущества, однако, имеет в данном случае несимметричное определение
па (г, r) = <8n(tit г^ЬпЦ,, г2)>, (86,3)
для которого сохраним обозначение а (/, г)1). В противоположность функции a(t, г) функция o(t, г) не является четной по переменной t; очевидно, что
o(t,r) = ^[a(t,r)+a(-t,r)]. (86,4)
J) Именно эта функция является непосредственно наблюдаемой величиной, например, при неупругом рассеянии нейтронов в жидкости —см. задачу.
Фурье-образ функции a(t, г) по времени и координатам
СО
о-(ю,к)= а(©, k) = l S о (t, r)dtd3x (86,5)
— 00
называют динамическим формфактором среды. Ввиду изотропии функции a(t, г) он зависит только от абсолютной величины волнового вектора. Из (86,4) следует, что фурье-образ функции a(t, г)
о (со, k) = 1 [а (со, k) + а (- со, *)]. (86,6)
Чисто пространственная корреляция флуктуации плотности жидкости определяется функцией (86,1) при £ = 0: о (г) = = a (t = 0, г) = о (t = 0, г). Эта функция связана с введенной в V § 116 (и использованной в § 83) функцией v(r) согласно а (г) = v (г) + 8 (г); их фурье-образы: а (/г) = v (k) -f- 1. Функцию а (k) или v(&) называют статическим формфактором жидкости. Функции а (со, k) и a (k) связаны друг с другом интегральным соотношением
СО 00
o(fe)= j а (со, fe)e-to*g|<=o= j а (со, fe)g. (86,7)
— со — со
Шредингеровский (не зависящий от времени) оператор плотности дается суммой
я(г) = 2б(г-гв), (86,8)
а
взятой по всем частицам среды; координаты частиц га играют роль параметров (ср. (24,4)). Нам понадобятся ниже компоненты фурье-разложения этого оператора по координатам
пк = J п (г) e-(krd»x=2e"(kr«. (86,9)
а
Переход к зависящему от времени (гейзенберговскому) оператору происходит по общему правилу
п (t, г) = ехр (iHt/fbfn (г) ехр (— iHt/A), (86,10)
где Н—гамильтониан системы. Этот оператор может быть представлен выражениями (86,8—9) с заменой в них га на ra (t) — гейзенберговские операторы координат частиц.
Согласно основным принципам статистики, усреднение <. ..> можно понимать по-разному, в зависимости от того, через какие термодинамические переменные должен быть выражен результат.
TaKj если функция ст определяется при заданных полной энергии и числе частиц системы, то усреднение производится, по определенному (m-му) стационарному состоянию, т. е. взятием соответствующего диагонального матричного элемента. Для однородной системы (жидкость) зависимость матричных элементов оператора bn(t, г) от времени и координат дается формулой
<m\bn(t, r)|Z> = <m|6u(0)|/>exp[f(<de,f-k»,r)], (86,11)
вполне аналогичной (8,4) (в правой части стоит матричный элемент шредингеровского оператора бп(г), взятого в точке г = 0). С учетом этой формулы пишем
na(t, г) = 2 <т | бп (tit rf) | /></ ] бп (t2, г2) | т> = = 2 \<т | бп (0) | /> |« ехр [I (co^-k^r)].
Фурье-образ этой функции по (со, к) = (2я)< 2 |<m I (0) I />|2 б (со—со^) б (k—k,J. (86,12)
Суммирование в этих формулах производится по всем состояниям системы с заданным (Nm) числом частиц (поскольку оператор б/г не меняет этого числа).
Если же мы хотим выразить формфактор через температуру и химический потенциал жидкости, то выражение (86,12) должно еще быть усреднено по распределению Гиббса:
по (со, k) —
=
(2я)« £ ехр Га-Е»-Р"»\{<т
|
бп (0) | />|' б (со-со, J6
(к-кш)
I, т
(86,13)
(причем во всех членах суммы N[ = Nm). Выписав такую же формулу для а(—со, —к) = о(—со, к), взаимно переобозначив в ней индексы суммирования / и т и заменив в экспоненциальном множителе Е1 — Ет + 1ш1т — Ет-\-1ш (последнее равенство—следствие наличия б-функции), получим
а(— со, £) = а(со, к)е~^Т .(86,14)
и затем, согласно (86,6),
а(со, k) = \{\+e-^lT)o{«>, k). (86,15)
Отметим, что из (86,13) (или (86,12)) следует, что функция о (со, fe)^0 при всех значениях ее аргументов. Из соотношения
же (86,14) следует, что при нулевой температуре
a(co,fe) = 0 при со<0, 7 = 0. (86,16)
В макроскопическом пределе (N,V—^оо при заданном отношении N(V) «частокол» б-функций в (86,13) размазывается в непрерывную функцию, но б-функционные пики в сг (со, k) остаются при значениях со=со(&), отвечающих незатухающим элементарным возбуждениям (как это следует из рассуждений, подобных изложенным в § 8). Такие пики возникают, однако, лишь для возбуждений без изменения числа частиц1).
Покажем, каким образом формфактор жидкости может быть связан с величинами, фигурирующими в общей формулировке флуктуационно-диссипационной теоремы (D. Pines, Ph. Nozie-res, 1958).
Пусть на каждую частицу жидкости действует некоторое внешнее поле, сообщающее частице потенциальную энертию U (/, г). Тогда оператор возмущения, действующий на жидкость в целом, будет
9{t) = lh(t,r)U(t,t)d»x. (86,17)
Подвергнув все входящие сюда величины фурье-разложению по времени, представим отклик системы (т. е. среднее значение вызванного возмущением изменения плотности) выражением вида
8Й(со, tt) = — $сс(со,|г—tt\)U(co, r2)d*x2, (86,18)
где функция а (со, г) играет роль обобщенной восприимчивости. Фурье-компонента по времени от корреляционной функции o(t, г) есть, в обозначениях флуктуационно-диссипационной теоремы:
по (со, г) = (бп(г1)вя(г|))в, r = ri—г,.
Согласно этой теореме, эта функция выражается через обобщенную восприимчивость формулой
по (со, г) = flcth — Ima(co, г). (86,19)
Такой же формулой выражается фурье-компонента по координатам а (со, k) через а (со, k), после чего, согласно (86,15),
г) Так, в ферми-жидкости а (со, k) имеет б-функционную особенность при со= ku0(и0— скорость нулевого звука), ноне имеет таких особенностей, отвечающих фермионной ветви спектра — см. § 91.
находим для динамического формфактора
по (со, k) = Ima(co,fe). (86,20)
1 _е-лю/Г
Важность этих формул связана прежде всего с тем, что ими устанавливается связь динамического формфактора с функцией с известными общими аналитическими свойствами (по переменной со); для функции а (со, k) эти свойства описаны в V § 123. Они позволяют также применить к вычислению формфактора общую формулу (ср. (75,11)), согласно которой
а (со, k) =
со
= тИе'<Ш'"кГ)<"^' ^ "(°' 0) —°)"(*» r)>dtd3x. (86,21) о
Выразив операторы плотности через гр-операторы (n = W+W), можно привести это выражение к виду двухчастичной функции Грина, для вычисления которой применима диаграммная техника.
Задача
Выразить через динамический формфактор вероятность неупругого рассеяния медленных нейтронов в жидкости, состоящей из одинаковых атомов (G. Placzek, 1952).
Решение. Согласно методу псевдопотенциала (см. III § 1.51), рассеяние медленных нейтронов может быть описано как результат взаимодействия с потенциальной энергией
0)
М
2п%!
- an (г),
где п (г) — оператор плотности (86,8); М — приведенная масса атома и нейтрона; а—длина рассеяния медленного нейтрона на отдельном атоме (т. е. взятое с обратным знаком предельное значение амплитуды рассеяния). Вероятность перехода из некоторого начального (i) состояния системы жидкость + нейтрон в конечное (/) состояние в некотором интервале d\f есть
СО
(2)
(см. III (40,5)); для недиагональных матричных элементов U ц в (1) можно писать Ьп вместо п. Волновую функцию начального состояния нейтрона (с импульсом р и энергией е) нормируем на одну частицу в объеме V, а волновую функцию конечного состояния (импульс р' и энергия е') нормируем на б-функцию от р/2и. Тогда d\f = d*p'/(2rih)3, а матричный элемент возмущениягде fik = p— р*, Асо = е— г', a bnp(t, г)—матричный элемент по отношению к волновым функциям жидкости. Подставив это выражение в dwj;, просуммируем вероятность перехода по всем возможным конечным состояниям жидкости. При этом квадрат модуля интеграла записываем в виде двойного интеграла (по dt dt' d3x d3x') и замечаем, что
2 bnfi (t, г) brift (tr, г')* = 2 О б"/« С г) =
f f
= <i\6n(t\ r')bn{t, t)\iy = no(t' — t, r'—t)
(причем о выражено в функции от полной энергии жидкости в состоянии i). Интегрирование по d(t' — t)ds(x'—х) дает а (со, k), а еще одно интегрирование (скажем, по dt d3x) дает просто объем V и полный интервал времени /. Опустив множитель t, получим в результате вероятность рассеяния в единицу времени
4яФ-2 , ., d3p"
w = по?а (со, k) —j— i (3)
Мг (2я£)3
Это выражение остается, конечно, справедливым и после усреднения по распределению Гиббса, т. е. при формфакторе, выраженном через температуру.
Отметим, что свойство формфактора (86,16) в применении к рассеянию нейтронов выражает собой тот факт, что при Т = 0 жидкость может только приобретать, но не отдавать энергию. Соотношение же (86,14) выражает собой принцип детального равновесия, так как процессы рассеяния с передачей энергии и импульса (со, к) и (—со, — к) являются взаимно обратными.