§ 84. Операторное выражение для диэлектрической проницаемости

*) Непосредственным интегрированием в сферических координатах в к-про-странстве можно получить

В этом параграфе мы получим полезное представление ди­электрической проницаемости среды через коммутатор оператора плотности зарядов (Ph. Nozieres, D. Pines, 1958). Эта формула аналогична формуле Кубо с учетом специфики электромагнит­ного поля.

/_v= Игл f е'

x= + oJ

■кг-циу d³k r(v + 2)sin(nv/2)

(2я)³ 2л²Л^{+ 3}

Нужный для проверки формулы (83,17) интеграл есть /₃. Ицтеграл же, нужный для проверки формулы (83,19) вычисляется как dl_v/d\ при v = 4.

Будем рассматривать однородную среду, обладающую не только временной, но и пространственной дисперсией диэлект­рической проницаемости. Это значит, что индукция. D(t, г) зависит от значений напряженности Е (t, г) не только в преды­дущие моменты времени, но и в других точках пространства. Такая зависимость может быть представлена в общем виде как

со

D:{t,r)=E_i{t,r) + \\f_ik(x,r')E_h{t-x,r-r')d*x'dx. (84,1)

о

Для монохроматического поля, в котором Е, D с>о ехр [i (kr—at)], эта связь сводится к

D,. = e,.,(co,k)£_ft, (84,2)

где

со

B_ik (со, k) = 6,_ft + J J f_tk (т, г') ё (««-ко dV dx. (84,3)

о

Мы ограничимся случаем, когда среда не только однородна, но и изотропна и не обладает естественной оптической актив­ностью. Тогда диэлектрическая проницаемость остается тензо­ром, но составленным лишь с помошью вектора к. Общий вид такого тензора

e,_ft = Mco,k)^- + Mco, к)(б„-^) . (84,4)

Скалярные функции г₍ и z_t называют соответственно продольной и поперечной проницаемостями. Если поле Е потенциально, Е=—V<p, то для плоской волны Е параллельно волновому вектору (Е = — ikcp) и тогда D = e₂E. Если же поле соленои-дально (div Е = ikE = 0), то Е перпендикулярно волновому вектору, и тогда D = e_fE.

Напомним (ср. VIII § 83), что при таком описании свойств среды уже не имеет смысла разделение среднего значения микроскопической плотности тока pv (р — плотность зарядов) на две части: dPJdt и crotM, где Р—электрическая поляриза­ция, а М—намагниченность среды. Другими словами, уравнения Максвелла записываются в виде

, „ 1 <ЭВ , _D 1 dD

TOtE = -дТ-, rot В =—-д7

с dt ' с at

без введения (наряду с магнитной индукцией В—средним зна­чением микроскопической напряженности магнитного поля) еще и вектора Н. Все члены, возникающие в результате усреднения микроскопических токов, предполагаются включенными в опре­деление D = E + 4nP, pv = dP/dt.

Больший интерес в применениях представляет продольная проницаемость, для которой мы и выведем операторное выра­жение. Оно получается путем рассмотрения отклика системы на стороннее (т. е. созданное сторонними по отношению к системе источниками) потенциальное электрическое поле Е_ст = — Уф_Ст-

Оператор взаимодействия системы с этим полем записы­вается как

V = lp(t,T)4„it,T)d?x, (84,5)

где р(^, г) — оператор плотности заряда в системе. Сопоставив это выражение с общей формулой (75,8) и рассматривая ф_ст как «обобщенную силу» /, сразу находим, согласно формулам (75,9—11), для фурье-компонент по времени от средней плот­ности зарядов

р_в М=-£ \ |>'<Р(*. г)р(0, г')-р(0, г')р(/, r)>₉f'(r')dVdr. о '

Перейдя здесь также и к фурье-компонентам по пространству и учтя, что в силу однородности системы среднее значение коммутатора зависит только от разности г—г', получим

Рсок = а(со, к)ф&к\ (84,6)

где

dt.

со -

^{а(со, к) = —£f JV<»'-*><p(*}_f ^{r)p(0, 0)-р(0, 0)p(*}_f ^r)>d»x

(84,7)

Средняя плотность зарядов связана с вектором поляризации среды соотношением р= — divP (см. VIII § 6). Для фурье-ком­понент отсюда следует.

Ро>к = — г'кРок = — i кЕ_мк.

С другой стороны, Аф_ст =—4яр_ст, где р_ст—плотность зарядов, создающих стороннее поле; индукция же D связана с этой плотностью уравнением divD = 4np_CT. Из этих двух уравнений находим

(р(ст) ₌ i£ ₀(ст) _ i£i kF,

^(Ok fc2 P<ok fc2

-CDk-

Наконец, подставив эти выражения в (84,6), получим иско­мое выражение продольной проницаемости

^=1+^а(со,к). (84,8)

Под p{t,r) в (84,7) следует понимать, строго говоря, опера­тор плотности зарядов всех частиц в системе—электронов и ядер. Обычно, однако, во всем существенном интервале значе­ний шик вклад в проницаемость вносят главным образом электроны; поэтому под р можно понимать е(п — п), где п — оператор электронной плотности, а п—ее среднее значение.

Формулу (84,7—8) можно преобразовать еще дальше, выразив ее через матричные элементы фурье-компонент оператора р. Для этого предварительно переписываем (84,7) в виде

ю

а (со, k) = -^Je*»'<Pk(Op-k(0)-p-_k(0)p_k(0>*, (84,9) о

(V—объем системы). Матричные элементы гейзенберговского оператора pk(t) выражаются через матричные элементы шредин-геровского оператора согласно

(pk(0)._e =*'"•»'(p_k)«».

Раскрыв произведение операторов по правилу матричного умно­жения и произведя интегрирование согласно (31,21), получим окончательно

_М^Гк)^{= 1 +r}_{ev 2}^{1 (рк)и0} _{'* I со-со„„ + ю ~ со+со„„ + /о } '} ^(84Л0)

п

где индекс 0 относится к заданному состоянию, для которого ищется проницаемость.