§ 83. Асимптотическое поведение корреляционной функции в жидкости

Длинноволновые электромагнитные флуктуации приводят. также к некоторым специфическим свойствам корреляционной функции флуктуации плотности в однородной жидкости.

Напомним (см. V § 116), чт« корреляционная функция v(r) определяется через среднее значение от произведения флуктуа­ции плотности числа частиц и в Двух точках пространства согласно

<8п(т₁)8п(т₂)у = п8(\) -fnv(r), г = ^—г.

(83,1)

Корреляционная функция связаша со взаимодействием между частицами, и ее асимптотическое поведение на больших рас­стояниях определяется дальнодействующей, ван-дер-ваальсовой частью этого взаимодействия. Поэтому v(r), как и ван-дер-ваальсовы силы, убывает с расстоянием по степенному закону (J. Enderby, Т. Gaskell, N. Н. March, 1965).

Это отражается, разумеется, и на свойствах фурье-компонент корреляционной функции v(k)e=v(&). Если бы между частицами жидкости действовали только силы с радиусом действия по­рядка атомных размеров а, то функция v(r) убывала бы с рас­стоянием по экспоненциальному закону с показателем ~ г/а¹). В терминах фурье-компонент это значит, что v(k) была бы регулярной функцией от ka, разложимой при &а<^1 по четным степеням ka. Дальнодействующие же силы приводят к появле­нию в v (k) члена (обозначим его Vj (k)) существенно меняющегося уже в области k~l/l₀ (а не k~\/a), где Я,₀ — характерные длины волн в спектре жидкости' (Х₀^>а). В области ka<^.\ •параметр kX₀ может быть как малым, так и -большим; функция Vi(k) в этой области имеет сингулярный характер.

Для вычисления корреляционной функции воспользуемся ее связью со второй вариационной производной от свободной энергии тела по его плотности. По определению, эта производ­ная есть функция ср (г), фигурирующая в выражении

^{6F = 1J"} _Ф ^(| _ri^-r₂^{1) 8п (т}_г^{) 8п (r}₂^{) d% d% (83,2)}

для изменения свободной энергии, связанного с флуктуациями плотности (при заданной температуре). Фурье-компонента ср (k) == ср (k) этой функции связана с искомой функцией v (k) соотношением

v(k) = ~--i (83,3)

/2ф (k)

(см. V (116,14)). Подчеркнем, что эта формула предполагает классичность флуктуации, для чего требуется %и><<^Т, где со — частота колебаний с волновым вектором k. Полагая со ~ ku (где и — скорость звука в жидкости), получим условие

%ku<^T, (83,4)

что соответствует расстояниям г^>йи/Т.

«Регулярная» часть функции ср (k), связанная с коротко­действующими силами, разложима по степеням k; ограничиваясь

(при ka<^\) первым членом разложения и обозначив его через Ь, пишем

ф(&)«Ь+_Ф1(£), (83,5)

где ф_х(&)— интересующая нас «сингулярная» часть функции²⁷). Ввиду относительной слабости ван-дер-ваальсовых сил ф_г (k)<^.b,' и поэтому результат подстановки (83,5) в (83,3) можно пред­ставить в виде

Поскольку связь v (k) с ф! (k) оказывается линейной, то функ­ция v(r) на больших расстояниях есть просто

Чг) = —^<?Лг). (83,7)

Первому же (не зависящему от k) члену в (83,6) отвечает ко­ординатная функция вида const-6(r), связанная с близкодейст­вующими силами (при пренебрежении их радиусом действия). Для определения ф*(г) исходим из формулы (80,11) для вариации свободной энергии. Написав в ней

бе(»£,,г)=-^^бп(г), (83,8)

дп

мы видим, что выражение

представляет собой первую вариационную производную свобод­ной энергии по плотности. Для второго дифференцирования надо, в свою очередь, проварьировать это выражение, т. е.' найти²⁸)

00

■£'йб®„(С;г,г)^1. (83,9)

Сама ^-функция удовлетворяет уравнению (79,8):

_{[ixTbTt ~} ^б_«^А_+1-^{8 г}₎^б_{«] ®«} ^г_'^г_{') =}

= — 4nlS,._fe8(r—г'), (83,10) а его варьирование дает уравнение для вариации й)-функции:

_{[жтк~ +1}^е_«.)⁶_{«] (С; г. г')=}

а

ов(»£,,г)а>„(£,;г,г'). (83,11)

Решение уравнения (83,11) можно написать сразу, заметив, что в силу (83,10) «невозмущенная» функция £D_lk является гринов­ской функцией этого уравнения; поэтому

6®_й(С,;г,г') = -^|бв0"£,, f)3>_tk(t_s; г", г') £>„(£/, г", r)dV

(здесь использовано также, что £й_п(т, г") =@)_и(г", г)). Наконец, подставив сюда (83,8) и затем все вместе в (83,9), получим вто­рую вариационную производную

00

Vi(0=-7rrriLV, '^(^г^.г,). (83,12)

(г= | —1"₃1). Эта формула вместе с (83,7) и дает искомое об­щее выражение корреляционной функции v (г) при r^>%ujT (М. П. Кемоклидзе, Л. П. Пипгаевский, 1970).

Предположенное уже ранее условие (83,4) для волновых векторов эквивалентно условию r^>flu/T для расстояний. Если одновременно с этим условием ограничить область значений г также и сверху:

hc/T^>r^>hu/T, (83,13)

то в сумме будут существенны большие значения s, и суммиро­вание по дискретным «частотам» t,_s =2nTsl% можно заменить интегрированием по ds = fidZ₎/2nT:

v(r) =

п

_с⁴₁

Ъ²%с* J L 4я дп о

'?2>и£;г*,г,)« (83,14) 2л

Функция 3)_ш получается из (77,6) заменой со —> it,. Произ­ведя дифференцирование и возведя в квадрат, получим

И ₌2^ fl + _2_ ₊ _5_+_6_ ₊ J_)

и» = г£/е(»0/с.

(83,15)

Подстановка (83,15) в (83,14) приводит к довольно сложному выражению, которое, однако, упрощается в двух предельных случаях.

В случае «малых» расстояний (г<^Х₀, ср. § 81) в интеграле существенна область £~сД₀; при этом г£/с<^1, так что в (83,15) можно заменить экспоненциальный множитель единицей, а в скобках сохранить лишь последний член. Тогда найдем

16л³я&²

v (г) = -

А =

•пЬ² J \_ дп _

е² Ю

r<V (83,16)

Фурье-образ этой функции^г)

v(k) = ±Ak\ И₀>1.

(83,17)

В обратном случае «больших» расстояний (г^>Я₀) в интег­рале существенна область £~с/г<^сД₀ ~ со₀. Поэтому можно заменить е (it,) ее электростатическим значением е₀ и вынести (дг₀/дп)² из-под знака интеграла в (83,14). После этого интегри­рование производится элементарно (причем все члены в (83,15) дают вклад одинакового порядка величины). В результате получается

64л³е³

*-^.(£)\ г>к. (8з,₁₈₎

Фурье-образ этой функции

v (*)=» — ^Bk4nkl₀, kl_B^l.

(83,19)