§ 82. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Предельные случаи

¹) Формула (81,9) выведена в предположении изотропии обоих тел. Поэтому ее применимость к кристаллам связана с возможностью пренебрежения анизо- тропией их диэлектрической проницаемости. Хотя это в большинстве случаев вполне допустимо, следует иметь в виду, что анизотропия тел приводит, вообще говоря, еще и к специфическому эффекту — появлению момента сил, стремя- щегося повернуть тела друг относительно друга.

Остановимся сначала на предельном случае «малых» расстоя­ний, под которыми подразумеваются расстояния, малые по срав­нению с длинами волн Х₀, характерными для спектров поглоще­ния данных тел. Температуры, о которых может идти речь для конденсированных тел, во всяком случае малы по сравнению с играющими здесь роль Асо₀ (например, в видимой части спектра), поэтому неравенство Tl/flc<^.l заведомо выполняется.

Благодаря наличию экспоненциального множителя в знаме­нателях подынтегрального выражения при интегрировании по dp существенна область, в которой р£//с~1. При этом р^>1, и поэтому при определении главного члена в интеграле можно положить s_x«s₂«р. В этом приближении первое слагаемое в фигурных скобках в (81,10) обратится в нуль. Второй же член после введения переменной интегрирования х = 2рХ^\с даст

о о

(нижний предел интегрирования по dx заменен в этом же прибли­жении нулем)²¹).

Сила в этом случае оказывается обратно пропорциональной кубу расстояния, что, впрочем, и следовало ожидать в соот­ветствии с обычным законом ван-дер-ваальсовых сил между двумя атомами (см. ниже примечание на стр. 404). Функции е(г'£) — 1 монотонно убывают с увеличением £, стремясь к нулю. Поэтому значения £, начиная с некоторого С~£₀> перестают вносить существенный вклад в интеграл; условие малости / означает, что должно быть l<^.c/t,₀.

2 J ае^х— 1 о

при изменении а от оо до 1 меняется незначительно: от 1 до 1,2. С практически достаточной точностью можно поэтому представить формулу (82,1) в виде,

р. _ - Г let (<£)-!] [в, ('t)-l] ~

^Г~ 8яЧ» ' ^Ш J [ex («) +1] [в! Ю+1] ^Ь' о

Величина со играет роль некоторой характерной для спектров поглощения обоих тел частоты.

Покажем, каким образом можно перейти от макроскопической формулы (82,1) к взаимодействию отдельных атомов в пустоте. Для этого предположим формальным образом оба тела доста­точно разреженными. С макроскопической точки зрения это значит, что их диэлектрические проницаемости близки к еди­нице, т. е. разности е_±— 1 и е₂—1 малы. Из (82,1) имеем тогдас должной точностью

СО 00

о о

= 32HvrItei(»'0-l][e,(t»-l]dS.

о

Выразив е (££) через Im е (со) на вещественной оси со, согласно (80,18), получим

о

Эта сила соответствует взаимодействию атомов с энергией

где г — расстояние между атомами; п_г, п₂ — плотности чисел атомов в обоих телах²²). Эта формула совпадает с известной квантовомеханической формулой Лондона, получающейся с помо­щью обычной теории возмущений, примененной к дипольному взаимодействию двух атомов (см. III § 89, задача). При сравне­нии следует учесть, что мнимая часть е (со) связана со спектраль­ной плотностью «сил осцилляторов» /(со) соотношением

со Im е (со) = —~ tif (со)

(е, т—заряд и масса электрона; см. VIII § 62); силы же осцил­ляторов известным образом выражаются через квадраты матрич­ных элементов дипольного момента атомов (см. III (149,10)).

Перейдем к обратному случаю «больших» расстояний: /^>Я₀. При этом, однако, будем считать, что расстояния все же не столь велики, чтобы нарушилось неравенство lT/fic<^.\.

= — да^--6, то полная энергия парных взаимодействий всех атомов в двух полу­пространствах, разделенных щелью ширины /, равна (7_П0Л = — апп_хп₂!21^г. Сила же есть F = dU_n01ildl = annyn₂l&l³. В этом и заключается соответствие между формулами (82,2) и (82,3).

В формуле (81,10) снова вводим новую переменную интегри­рования х=2р1£/с, но в качестве второй переменной оставляем теперь не. С, а р. Тогда е_г и е₂ окажутся функциями аргумента

f£ = ixc/2pl. Но благодаря наличию е^х в знаменателях подынте­грального выражения в интеграле по dx играют роль значения х~ 1, а поскольку 1, то аргумент функции е при больших I близок к нулю во всей существенной области переменных. В соответствии с этим можно заменить s_iy е₂ просто их значе­ниями при £=0, т. е. электростатическими диэлектрическими постоянными е₁₀, е₂₀. Таким образом, окончательно

' 32л²/⁴

%с ?? д» f r(s_w + p)(s₂₀ + p) _t

J J p^! 1 L(^sio—p) (S20—p)'

0 1

+

Г (£10 L(^sio

s₁₀==]/e

+ P810) (s_ao+ pe₂₀)

pe₁₀) (s₂₀—PE2o) :o 1 H~P²> S₂₀

1

^{1 j dp dx,}

:J/e₂₀-l+p².

(82,4)

*(*а) 1.0 \

Закон убывания силы с расстоянием (как /~⁴) соответствует в данном случае закону убывания ван-дер-ваальсовых сил между двумя атомами с учетом запаз­дывания (см. ниже).

0.8

0.S

Формула (82,4) сводится к очень простому выражению в слу­чае, когда оба тела — металлы. У металлов функция е (it,)—²³-оо при £—>-0; поэтому для них надо счи­тать е₀=оо. Положив = оо, получим

240 /⁴ (82,5)

о.ч

F =

0.2

. оо со

16л²/'

пс С С х³ dp dx

(в²⁴-1)

о,в %

0 1

(Я. В. G. Casimir, 1948). Эта сила вообще не зависит от рода металлов (свойство, не имеющее места на малых расстояниях, где сила взаимодействия зависит от поведения функции е (it,) при всех значениях £, а не только при £ = 0).

На рис. 18 представлен график функции ср_дд(е₀), определяю­щий силу притяжения между двумя одинаковыми диэлектриками (е₁₀ = е₂₀ = е₀); формула (82,4) представлена в виде

^- — Jl£. {^Ёо ~240 /²⁵

— 1

Фдд(^ео)-

(82,6)

На том же рисунке дан график функции ср_дм (е₀), определяющей силу притяжения для диэлектрика и металла (е₁₀=е₀, е₂₀ = оо) по формуле¹)

Произведем в (82,4) переход к взаимодействию отдельных атомов подобно тому, как это было сделано выше для формулы (82,1). При малых е„—1 имеем

^S»—P^^2T' ^s<>—Ре₀«(е₀ — 1) (— Р + Тр) » и интеграл (82,4) принимает вид

о 1

откуда

^Р = (82,8)

Эта сила соответствует взаимодействию двух атомов с энергией

^и(^г) = -^г^а^ (ВД

где а_и а₂—статические поляризуемости атомов (е₀= 1 + 4яла). Формула (82,9) совпадает с результатом расчета по кванто­вой электродинамике для притяжения двух атомов на доста­точно больших расстояниях, когда становятся существенными эффекты запаздывания (см. IV § 85).

Наконец, рассмотрим расстояния настолько большие, что имеет место неравенство 1Т/пс^> 1, обратное тому, которое требо­валось для возможности пренебрежения влиянием температуры. В этом случае из всех членов суммы в (81,9) надо сохранить лишь первый. Однако сразу положить в нем п = 0 нельзя ввиду возникающей при этом неопределенности (множитель обра­щается в нуль, но интеграл по dp расходится). Это затруднение можно обойти, введя сначала вместо р новую переменную инте­грирования x = 2pt,J/c (в результате чего множитель £,_п исче­зает). Положив затем £„=0, получим

о

Таким образом, на достаточно больших расстояниях убывание силы притяжения замедляется и снова происходит по закону /~³,

но с коэффициентом, зависящий от температуры (все следующие члены суммы в (81,9) убываю! с / экспоненциально). Условие lTjfbc^>\ есть по существу ус.ю«вие классичности (fwx^tT, где со — //с). Поэтому естественно, чг»о (82,10) не содержит

Задач а

Найти закон взаимодействия атома с: металлической стенкой на «больших» расстояниях.

Решение. Взаимодействие отдеыного атома с конденсированным телом можно найти, рассматривая лишь одоо из тел (пусть это будет тело 2) как разреженную среду. Считая е₂₀—1 малам и положив 8ю = оо, получим из (82,4)

о

О)

Если энергия взаимодействия атома сссстенкой есть (У =—dL~^x (L—расстоя­ние атома от стенки), то энергия взавдодействия атомов в полупространстве, отделенном от стенки щелью /, есть U_m=— an/3/³, а сила F = dU_no][/dl — an/lⁱ. По этому полученному значению F соответствует притяжение отдельного атома к стенке с энергией

U (L) = — Зоа₂&с/8яХ⁴ (2)

(Я. В. G. Casimir, D. Polder, 1948).

Для взаимодействия атома с дюотектрической стенкой тем же путем получается результат

с функцией ср_ад, представленной график» ски на рис. 18. При ejo—²⁶" 1 она стре­мится к значению 23/30 = 0,77, отвечашцему формуле (82,8).