§ 81. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Общая формула

1

0%

Применим полученные в предыдущем параграфе общие фор­мулы к вычислению сил, действующих между твердыми телами, поверхности которых сближены до очень малых расстояний, удовлетворяющих лишь одному условию: они \2 должны быть велики по сравнению с межатом-i ными расстояниями в телах. Именно это условие позволяет подойти к вопросу с макроскопической $ точки зрения, в которой тела рассматриваются как * сплошные среды, а их взаимодействие — как осу-Рис. 17. ществляющееся посредством флуктуационного элект­ромагнитного поля. При этом существенны те флук­туации, длины волн которых порядка величины характерных размеров задачи — ширины щели между телами¹⁶).

Будем обозначать индексами 1 н 2 величины, относящиеся к двум твердым телам, а индексом 3—величины, относящиеся к пространству щели между ними (рис. 17). Щель будем пред­полагать плоскопараллельной; ось х направим перпендикулярно ее плоскости (так что поверхностями тел 1 и 2 будут плоскости х = 0 и х = 1, где / — ширина щели). Сила F, действующая на единицу площади поверхности, скажем, тела 2, вычисляется как поток импульса, втекающего в тело через эту поверхность. Этот поток дается компонентой о_хх электромагнитного тензора напряжений в пространстве щели, взятого при х = 1. В пустоте 8=1 и выражение о_хх из (80,16) сводится к¹⁷)

00

F = o_xx(l) =-^ £'№(£„; I, 0 + 2>£(С„; /, U 0 +

*, /)+®&(£„; *, 0-®£(£„;0} (81,1)

(индекс суммирования обозначаем в этом параграфе буквой п).

В силу однородности задачи в направлениях у и г функ­ции £D_ik(t,_n; г, г) зависят только от разностей у—у' и г—г' (аргументы у — у' яг—г'в (80,1) не выписаны); £D_ik{%_n, q; х, х')— фурье-компоненты по этим переменным. Тогда

_ш ^{(£„; г, г) = J 3>}_ih ^{(£„, q; х,х)^. (81,2)}

'Для функций &>_ik (£„, q; х, х') уравнения (79,8) принимают вид (ось у направляем вдоль вектора q)

^w*~~ £ )®«(*« ^х') = — 4лб(л:—х'),

(w*-q*-^ ®_B„ (*, *') +iq_a\eD_xy (х, х') = - 4лб (*-х'),

w²®_xy (х, х') + iq ± ®_yv (х, х') = 0,

w²@>_xx (х, х') +iq^8)_yx{x, х')= — 4п6{х—х'),

где w = (e£_>ⁱ„ + q²)^1/2, e = e(i£„), а х' играет роль параметра (ком­поненты же £D_XZ =@>_уг = 0, поскольку уравнения для них ока­зываются однородными). Решение этой системы сводится к ре­шению всего двух уравнений

^w2-&)®"(^x' *') = ~4я6(*-*'), (81,3)

(w²^) ®_уу (х, х') = -⁴-^8 (х-х'), (81,4)

'ху \~t ~ ) w² dx уу

®>_хх (X, ®>ух (X, X')-ij б (Х-х').

после чего £D_xy и ё&_хх определяются как

(81,5)

®*у (^х, X ) = ~а ^уу (^х' ^х )>

При этом надо учесть, что в силу (79,5) Я)_ух (г, г') =3)_ху (г',г), и поэтому @)_yX(q\x,x') = -@)_Xy ( — q;x', х).

Краевые условия, соответствующие непрерывности танген­циальных компонент напряженности электрического и магнит­ного полей, сводятся к требованию непрерывности величин 3>y_k. 3>zk> &ф @>zk ^или, ^что т° ^к непрерывности величин

Используя первое из равенств (81,5), получим, что на границе раздела должны быть непрерывны

®уу,-^®_уу. (81,6)

Поскольку мы имеем в виду вычислить тензор напряжений лишь в области щели, то можно сразу считать, что 0 < х' < /. В области 0 < х < I функции @)_уу и ё>₂₂ определяются уравне­ниями (81,3—4) с е=1,м = ю₃^Фп + Я*)^1/2- В областях / (дс<0) и 2 (х > /) они удовлетворяют тем же уравнениям без правых частей (поскольку здесь хфх') соответственно с e_i( до^ и е₂, до₂ в качестве e,w.

Необходимое, согласно (80,17), вычитание сводится к тому, что из всех функций 3>_ik в области щели следует вычесть их значения при е_£=е₂ = 1. Вследствие этого, в частности, можно сразу опустить второй член справа во втором из равенств (81,5), так что в области щели

iq d

\$7х ^лл widx

Прежде чем приступить к решению уравнений, сделаем еще одно замечание. Общее решение уравнений (81,3—4) имеет вид f- (x—x') + f⁺ (х + х'). Используя уравнения (81,3—4), (81,7) и определение функций S)f_k и можно показать, что части гри­новских функций, зависящие от суммы л;-f-x', не вносят никакого вклада в выражение (81,1) для силы. Мы не останавливаемся здесь на этом, так как этот результат заранее очевиден из фи­зических соображений: положив х — х' в решении вида /⁺ (х+х'), мы бы получили поток импульса в щели, который зависел бы от координаты—в противоречии с законом сохранения импульса. В дальнейшем мы будем поэтому приводить в результате только выражения для частей гриновских функций S>i_k, не зависящих otjc + x'.

Перейдем к нахождению функции £D_2Z. Она удовлетворяет уравнениям:

(а*(*.*')= 0, х<0,

w\ - g;) 3>_zz (х, х') = 0, х> I,' (81,8)

^даз —£)®_гЛ*> х') = — 4яб(х—х'), 0<х<1.

Отсюда находим

g)_Z2 = Ae^w>^x, х<0, @)₂₂ = Be-^w*^x, х>1, 3>₂₂ = С^^х +C₂e-^w*^x—j?-i1, 0 < х < /.

В последнем выражении учтено, что в силу третьего из урав­нений (81,8) производная dS>_zz/dx испытывает при х = х' скачок, равный in. Определив А, В, C_i; С₂ (функции х') из граничных

условий непрерывности S>_zz и d£D_Z2/dx, получим

где

а — 1 o2W,l

(Wi — W₃) (w₂—w_s)'

Вычтя значение S>_zz при w_i==w₂ — w₃ (при этом 1/А = 0), имеем окончательно

Аналогично, решая уравнение для S)_yy, получим (после вычи­тания)

3>yy = ^chw₃(x—x'),

и, используя (81,7),

S>gy = S>y_X = —^-sbw_a(x—x'),

@>х~х = — zr— ch w₃ {x—x').

c,n.w₃Ai

Вычислив теперь функции @>f_k и S>"_k, преобразовав их затем согласно (81,2) и подставив в (81,1), получим

Наконец, перейдя к новой переменной интегрирования р, со­гласно q = t_snYp'¹—1, и возвратившись к обычным единицам, мы придем к окончательному выражению для силы F, дейст­вующей на единицу площади каждого из двух тел, разделенных щелью шириной /:

"^Йй-Й"'^)-']"'}*- <⁸'.⁹>

где

_Sl=J/_Bl-l+p\ s,=]/e_a-l+P^s, l_n = 2nnTl%,

e_f, е₂—функции мнимой частоты со = 1'£„; напомним в этой связи, что e(i£)—положительная вещественная величина, монотонно убывающая от своего электростатического значения е„ при £=0 до 1 при £ = со!). Положительные значения F соответствуют при­тяжению тел. Подынтегральное выражение в каждом из членов суммы в (81,9) положительно и при каждых заданных р и монотонно убывает с ростом I¹⁸). Отсюда следует, 4toF>0, d'F/dl < 0, т. е. тела (разделенные пустой щелью) притягиваются с силой, монотонно убывающей с увеличением расстояния.

Общая формула (81,9) очень сложна. Она, однако, может быть существенно упрощена в связи с тем, что влияние температуры на силу взаимодействия обычно совершенно несущественно¹⁹). Дело в том, что благодаря наличию экспонент в подынтеграль­ных выражениях в (81,9) главную роль в сумме играют лишь те члены, для которых £„ ~ с/1 или п ~ с%/1Т. В случае 1Т/с%<^ 1 существенными будут, таким образом, большие значения п и в (81,9) можно перейти от суммирования к интегрированию по dn = ~kdt,/2nT. При этом температура исчезает из формулы, и мы приходим к следующему результату:

(¥')-']"'}*<• ^<81'^,0>

Согласно сказанному, эта формула применима для расстояний l<^.cfi/T; уже при комнатных температурах это Дает расстояния примерно до 10~²⁰ см. Формула (81,10) допускает дальнейшее существенное упрощение в двух предельных случаях.