§ 78. Флуктуации тока в линейных цепях

Еще одно интересное применение флуктуационно-диссипаци-онной теоремы представляет вопрос о флуктуациях тока в ли­нейных цепях, впервые рассмотренный Найквистом (Н. Ny-quist, 1928).

Флуктуации тока представляют собой свободные (т. е. про­исходящие в отсутствие приложенной извне электродвижущей силы) электрические колебания в проводнике. В линейной зам­кнутой цепи наибольший интерес представляют, естественно, те колебания, при которых возникает текущий вдоль провода полный ток J. Ниже мы предполагаем выполненным условие квазистационарности — размеры цепи малы по сравнению с длиной волны К ~ с/со. Тогда полный ток J одинаков во всех участках цепи и является функцией лишь от времени.

Выберем этот ток J в качестве величины x(t), фигурирующей в общей формулировке флуктуационно-диссипационной теоремы в V § 124. Для того чтобы выяснить смысл соответствующей обобщенной восприимчивости а, предположим, что в цепи дейст­вует внешняя электродвижущая сила Тогда диссипация энергии в цепи Q = J£. Сравнив с выражением Q = — xf, служащим определением «силы» / (см. V (123,10)), мы видим, что / = — £ или для фурье-компонент rf^>_(B = £ca/<o- С другой стороны, ток и

з. д. с. в линейной цепи связаны соотношением £a — Z(<u)J₉, где 2 (to)—комплексное сопротивление (импеданс) цепи. Поэтому имеем

У_ш = eJZ = mfjZ

и, сравнив с определением обобщенной восприимчивости в соот- ношении (х)_а = а (со)/, находим a(co) = ico/Z(co). Ее мнимая часть:

Im a = Im ^ = -rjjr r (<°)»

где # = ReZ.

Согласно флуктуационно-диссипационной теореме, (х²)_ш =- % cth ^ • Im а (со),

[аходим теперь для спектральной функции флуктуации тока

(^/a)»=T^F*^(ffl)cth"ir' <^78,1)

Эту формулу можно представить в другом виде, описывая флук-■уации тока как результат действия «случайной» э. д. с. &_iSi = ZJ_a). Для нее имеем

(tf*)a, = Ao#(<B)cth-§p. (78,2)

В классическом случае (Аах^Т)

(S% = 2TR((o). (78,3)

Подчеркнем лишний раз, что эти формулы совершенно не ?ависят от природы явлений, ответственных за дисперсию сопро­тивления цепи.

5 79. Температурная функция Грина фотона в среде

Температурная функция Грина фотона в среде строится по мацубаровским операторам потенциалов электромагнитного поля подобно тому, как временная функция Грина (75,2) строится из гейзенберговских операторов:

3>tk = - <ТД^М «ч) Ак⁴ (т„ г,)>. (79,1)

Здесь учтено, что в силу эрмитовости шредингеровских опера­торов поля мацубаровские операторы А^м и А^м (определенные согласно (37,1)) совпадают друг с другом. Эти операторы, однако (в отличие от гейзенберговских), сами уже не эрмитовы; ввиду вещественности параметра т имеем

[X^м (т, г)]⁺ = [е^гй'/ЛА(г)е-^т"'/Л]⁺₌е-^'АА(г)е^т&'/Л

или

[А*(т, г)]⁺=А^м{~т, г).

Поскольку функция (79,1) зависит только от разности t = Tj—т_г (ср. § 37), то можно написать (положив, например, т>0)

г_и г₂) = -<л>(т, rjAFio, г,)>,

Я>«(-т; г,, г_а) = -<Л^(т, г_а)Л_г^м(0, г_х)>.

Из сравнения этих двух выражений видно, что

r_{u Tt}) = S>_ki(r, г₂, г,). (79,2)

Функция @>_ik может быть разложена в ряд Фурье по пере­менной т:

©„(т; r_lf г_а) = Г 2 S>_t„(W, r_lf r₂)e-^\ (79,3)

s= - со

причем «частоты» t,_s пробегают (ввиду статистики Бозе, которой подчиняются фотоны) значения tt,_s = 2nsT (ср. (37,8)). Для ком­понент этого разложения из (79,2) следует аналогичное соотно­шение

®«К/, r_lf r_a) = a>_kt(-t;, г„ г,). (79,4)

Согласно общему соотношению (37,12), эти компоненты свя­заны с запаздывающей функцией Грина равенством

®/*(£,; r_lt r_s) = Dg(iX,; г₂, г_г)

при положительных l_s. В § 75 было показано, что функции ДчЦсо; г,, г₂) можно в известном смысле рассматривать как обобщенные восприимчивости, фигурирующие в общей теории отклика макроскопической системы на внешнее воздействие. Отсюда следовало свойство симметрии этих функций, выражае­мое (для немагнитоактивных сред) равенством (75,12), а ввиду связи между функциями Df_k и %D_ik таким же свойством обладают и последние:

r_lt r_t) = ®_ki(t_t\ г₂, г,). (79,5)

Из этого равенства, "вместе с равенством (79,4), следует теперь, что функции £D_ik(t,_s\ г₁₍ г₂) четны по дискретной переменной t,_s, так что при всех (положительных *и отрицательных) ее значе­ниях имеем

®,■*(£,; r_lf r₁) = Di|(»|£,|; r_lf г,). (79,6)

Далее, функция £>Д(со; r_lt г₂), как и всякая обобщенная восприимчивость, вещественна на верхней мнимой полуоси со (см. V § 123); из (79,6) следует поэтому, что функция £D_ik (£/, г^, г₂) вещественна при всех значениях t,_s. Наконец, из этих свойств следует, в свою очередь, что и исходная функция S),_a(t; r_lf г₂) вещественна и четна по переменной т:

®«(т; r_lf г₂) = 2>_/)к(-т; г*, г,). (79,7)

Связь (79,6) между температурной и запаздывающей функ­циями Грина позволяет сразу написать дифференциальное урав­нение, которому должна удовлетворять функция S)_ik в неодно­

родной среде; для этого достаточно произвести замену to—>i \t_s\ в уравнении (75,15) или (75,16). Так, для изотропной немагни-тоактивной среды с р=1 находим уравнение

b7Sr^e"^A+F^e('^{,U г)в}".

г, г') =

= -4лйб„б(г-г'). (79,8)

к) = б« (79,9)

Для однородной неограниченной среды функция S>_iki^_s; г, г') разлагается в интеграл Фурье по разности г—г'. Компоненты этого разложения удовлетворяют системе алгебраических урав­нений

1

/^-б^-б,,!" e(i|t,|)

4п%

и даются формулой ^х)

c4ikb

б,"* +

& (i I Е, I)

(79,10)

Йв(*|С* |)/c⁷ + fe⁸

Поскольку функция D,-_ft(^, к) выражается (в длинноволно­вой области ka<^\) через 8 (со), то диаграммная техника для ее вычисления становится тем самым техникой для вычисления диэлектрической проницаемости среды. При этом последняя имеет также и определенный диаграммный смысл, который будет сейчас выяснен.

Будем изображать точную ©-функцию жирной, а функцию ©⁽⁰⁾ в вакууме—тонкой пунктирной линией по правилу⁹)

=-Чк

/^0?

(79,11)

Вся совокупность диаграмм, изображающих ©-функцию, может быть изображена рядом (вполне аналогичным ряду (14,3) для функции G):

=___+ ___о-__₊__-0-0-_₊... (⁷⁹-¹²)

¹) В реальных применениях (ср. § 80) функция ©/;, всегда фигурирует в произведении с £!; поэтому расходимость при t,_s = 0 фактически устраняется.

где кружок изображает совокупность диаграммных блоков, не распадающихся на две части, связанные только одной пунктир­ной линией; обозначим эту совокупность посредством —Р_1к/4л.

Функцию 5*_;-_ft (аналогичную собственно-энергетической части гриновской функции частиц) называют поляризационным опе­ратором.

Диаграммное равенство (79,12) эквивалентно уравнению

_{= +} ---о— (79,13)

(ср. переход от (14,3) к (14,4)). В аналитическом виде оно дает S>t_k = ®№ + 2>W%z-&>_ak (79,14)

(все множители—функции одинаковых аргументов t,_s, к). Умно­жив это равенство справа на обратный тензор и слева — на *Э^<0>-1, перепишем его в виде

т^®®-¹⁰-?;^*. (79,15)

Наконец, взяв из левой стороны уравнения (79,9) и такое же выражение с е=1 для й>$^)_1, найдем

5»_rt(S,,k) = -^-[e(«|S,l)-l]e«, (79,16)

чем и определяется диаграммный смысл функции е(со) — 1 в дис­кретном множестве точек на Верхней мнимой полуоси со. Ана­литическое продолжение функции е (t | |) на всю верхнюю полу­плоскость должно, в принципе, производиться с учетом того, что е (со) не должна иметь особенностей в этой полуплоскости и что е(со)—>-1 при |со|—►со¹¹).

В неоднородной среде поляризационный оператор является (как и S>_ik) функцией координат двух точек. Повторив весь вывод в координатном представлении, получим вместо (79,14) уравнение

= 3>Ш (г,., г,) + ± J ЩТ (г_it г,) P_lm (г„ г₄) 3)_тк (г₄, г,) d4_sd?_Xi

(аргументы l_s для краткости не выписываем). Подействовав на это равенство слева оператором

^д* g д.-i.il б

и учтя, что D⁽⁰⁾ удовлетворяет уравнению (79,8) с е = 1, получим (Х(1Ъ r')®_lk(r', r₂)#x' = [_e(rj-l]|i©_/ft(_ri, r₂),

d /1с"

откуда

r_lf ^r«) ^e^^fi/¹²⁶ r.) [e (t I С, I, _Г1)-1]. (79,17)

Структура конденсированной среды, а с нею и ее диэлек­трические свойства определяются силами, действующими между ее частицами на расстояниях порядка атомных размеров а. На этих расстояниях можно (при нерелятивистских скоростях ча­стиц), пренебречь запаздыванием взаимодействий, которое ста­новится существенным лишь для длинноволновых (в смысле йа<^1) компонент поля; другими словами, при вычислении поляризационного оператора можно пренебречь длинноволновой частью поля. В диаграммах же для самой гриновской функ­ции &)_{к длинноволновое поле фигурирует лишь через тонкие пунктиры в правой стороне (79,12).

Рассмотренный в этом параграфе трехмерный тензор W_ik является, конечно, лишь пространственной частью поляриза­ционного 4-тензора 3¹³^. Подчеркнем, во избежание недоразу­мений, что его временная и смешанные 3³_о! компоненты отнюдь не равны нулю. Более того, как и в квантовой электро­динамике, этот 4-тензор вообще не зависит от калибровки потен­циалов. В нерелятивистской теории эта калибровочная инва­риантность очевидна уже из указанной только что возможности вычисления поляризационного оператора с учетом одних только незапаздывающих сил, не зависящих от калибровки Длинновол­нового поля!).

Компоненты 3>_аа и S*_Qi можно найти из условия поперечно-сти 4-тензора: 5*_v._vk^tl=0, где № = (it,_s, к) — волновой-4-вектор:

_{5».о—тт[е(^с*1)-а'}

ilk • (⁷⁹'¹⁸>