§ 8. Определение энергетического спектра по функции Грина

Для микроскопически однородной системы легко определить зависимость от времени и координат матричных элементов гей­зенберговского ф-оператора по отношению к стационарным состояниям с определенными значениями энергии и импульса.

Зависимость от времени дается обычным экспоненциальным множителем

<n\W_a(t, г)\т>=е^Са">*' <ra|ix(r)|m>, (8,1)

но поскольку гейзенберговский ^-оператор определен с по­мощью гамильтониана #', то

®nm = E'n — E'_m=:E„—E_m—\l(N_n—N_m).

Согласно общим свойствам ар-операторов, оператор Ф умень­шает (a W⁺ увеличивает) число частиц в системе на 1. Поэтому в матричном элементе (8,1) N_n = N_m—1, так что

co_nm = E_n(N)-E_m(N + \) + p, (8,2)

где в виде аргументов указаны числа частиц в соответствующих состояниях.

Для определения координатной зависимости замечаем, что в силу однородности системы матричные элементы ее гр-операто-ров не могут измениться при смещении на любое расстояние г относительно системы. Это, однако, не означает, что матричные элементы вообще не зависят от координат. Дело в том, что отличие ip„_m (г) от значения гр„_т (0) в некоторой заданной точке г = 0 связано с двумя причинами: со смещением на расстояние г относительно самой системы и с перемещением точки наблюде­ния в другое место пространства, что также меняет фазы вол­новых функций. Чтобы исключить последнее изменение, сместим систему на вектор —г, т. е. применим к ее волновым функциям оператор параллельного переноса

f (—r)=e-'^rP

(Р—оператор полного импульса системы; см. III (15,13)). В результате этих операций точка наблюдения вернется в исход­ное место пространства, но останется смещенной относительно системы на вектор г. Инвариантность матричных элементов по отношению к такому преобразованию выразится равенством

<п | i, (0) | my = <п | е^1гЦ_а (г) е~ | ту. (8,3)

Если в.состояниях пит система обладает определенными импульсами Р„ и Р_т, то

<я | % (0) | ту = e^ikn^^T <п | Ц_а (г) | ту,

откуда

<n\W_a(t, г)|т> = е^1(м«^-^к"-^г)<п|гр_а(0)|т>, <n\W+(t, r)\my = <m\W_a(t, r)|«>*.

где k„_ffl = P„ —P_m.

С помощью этих формул можно получить важное разложе­ние для функции Грина в импульсном пространстве, прояс­няющее ее физический смысл.

Ввиду «разрывного» определения функции G(t, г), при вы­числении G(co, р) надо разбить интеграл по dt в (7,22) на два интеграла: от —со до 0 и от 0 до со. Во втором из них (т. е. при t = t₁ — /₂ > 0) имеем, раскрывая определение (7,10) по правилу умножения матриц:

^{G(г, г) = LGaa = -4£<01(*i)\т><т\4>}_а^(Х₂^)10>

т

(суммирование по всем квантовым состояниям системы). Подста­вив сюда (8,4) и заметив, что в основном состоянии Р_о = 0, находим

^{G(t, r) = -4^|<0|^}_a^{(0)|m>pe'((»om^V),} ₍₈^,5)

т

где co_0m = Е„ (А/)—Е_т (N + 1) + ц.

Интегрирование по пространству в (7,22) (с G{t, г) из (8,5)) дает в каждом члене суммы б-функцию б (р — Р_т). При инте­грировании же по dt (t > 0) для обеспечения сходимости надо добавить к со бесконечно малую положительную мнимую часть, т.е. заменить со—s-co-f-iO¹). Тогда получим

]$G(t, г)(tw-vWxdt =-^21<°IФ«(0)|т>|

6(Р-Р_т)

Аналогичным образом вычисляется интеграл по dt от —оо до 0. При t < 0 вместо (8,5) имеем

°(*' 1-) = т£К^1^(0)|0>|^ге^г(а^-^р»»^г), (8,6)

m

(8,7)

где (£>_mQ = E_m(N—1)—E₀(N) + [i. Вычислив теперь интеграл от —со до 0 и сложив оба интеграла, получим

1+£,(Л0-£_в(ЛЛ-1) + Ю ¹

I B_mb (р + Р_т) V

"*"© + ц + £_в (А/-1)-£„ (JV)-«> J *

где обозначено

Л« = |<0|Ф«(0)|т>1\ Б_и = |</п|^_а(0)|0>|². (8,8)

Это и есть искомое разложение²). Введем обозначения