§ 105. Равновесие по отношению к образованию пар

При чрезвычайно высоких температурах, сравнимых с энер­гией покоя электрона тс²¹), столкновения частиц в веществе могут сопровождаться образованием электронных пар (электронов и позитронов); в результате само число частиц становится вели­чиной не заданной, а определяющейся условиями теплового рав­новесия.

Образование пар (и их аннигиляция) может рассматриваться с термодинамической точки зрения как «химическая реакция» е⁺ + е~ = у, где символы е⁺ и е^- обозначают позитрон и электрон, а символ у—один или несколько фотонов. Химический потенциал газа фотонов равен нулю (§ 63). Поэтому условие равновесия по отношению к образованию пар будет иметь вид

р- + р⁺ = 0, (105,1)

где р" и р⁺—химические потенциалы электронного и позитрон-ного газов. Подчеркнем, что под р подразумевается здесь реля­тивистское выражение для химического потенциала, включающее энергию покоя часгиц (ср. § 27), которая существенным образом участвует в процессе образования пар.

¹) Энергия /пс³ = 0,51 ■ 10^е эв, так что температура mc²/k = 6-l0⁹ град.

Уже при температурах Т ~ тс² число образовавшихся (в еди­нице объема) электронных пар очень велико по сравнению с атом­ной электронной плотностью (см. примечание на следующей стра­нице). Поэтому можно с достаточной точностью считать, что число электронов равно числу позитронов. Тогда р~ = р⁺, и условие (105,1) дает: р- = р+ = 0, т.е. в равновесии химические потен­циалы электронов и позитронов должны быть равны нулю.

Электроны и позитроны подчиняются статистике Ферми; поэ­тому их число получится интегрированием распределения (56,3) с р = 0:

^{tf+ = tf-=4-f-#-, (105,2)}

О

где е дается релятивистским выражением г = cY Р² + т²с².

При Т <с; тс² это число экспоненциально мало [<лэ ехр (—те²/?¹)}. В обратном же случае, Т^>тс², можно положить е = ср, и фор­мула (105,2) даст

л^ = л/-=1(ТУ?-^-

Стоящий здесь интеграл выражается через £-функцию (см. сноску на стр. 191), и получается¹)

^-iV--^QV-0,183(£)V. (105,3)

Тем же путем найдем энергию позитронного и электронного газов:

_Е+-_Е- ₌ УТ (TV} *^3dx - ⁷"^2?м у П05 4)

Эта величина составляет 7/8 от энергии черного излучения в том же объеме.

Задача

Определить равновесную плотность электронов и позитронов при T<^.tnc². Решение. С помощью выражения (46,1а) для химического потенциала (к которому следует добавить тс²) получим

где n~^=N-JV, n+ — N⁺fV—плотности электронов и позитронов. Если п₀ — начальная плотность электронов (в отсутствие образования пар), то «- ==п ⁺ + «₀. и мы получаем

*) При Т ~ тс² объем, приходящийся на одну образовавшуюся пару, ~ф,/тс)³. Этот объем очень мал по сравнению с атомным объемом—кубом воровского радиуса (&²//яе^!)³.

л„,Гл!, 1 /тс\* { Т у ( 2тс*\У^/2

Глава XI

СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА ПРИ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ ПЛОТНОСТЯХ