§ 6. Статистическое распределение в квантовой статистике

В квантовой механике можно доказать теорему, аналогичную теореме Лиувилля, полученной в § 3 на основании классической механики.

Для этого выведем предварительно общее квантовомеханическое уравнение, определяющее производную по времени от статисти­ческой матрицы любой (замкнутой) системы²). Следуя методу, примененному в предыдущем параграфе, предположим сначала, что система находится в чистом состоянии с волновой функцией, представленной в виде ряда (5,1). Ввиду замкнутости системы ее волновая функция будет иметь такой же вид и во все после­дующие моменты времени, причем только коэффициенты с„ будут теперь функциями времени, пропорциональными множителям ехр(—iEJI%). Поэтому имеем

Переход к статистической матрице в общем случае смешанных состояний производится теперь путем замены произведений с*_пс_т

*) Вш.ду отсутствия у / (q, р) прямого физического смысла естественно, что определение функции, обладающей указанными свойствами, неоднозначно. Так, распределения по q и по р могут быть получены тем же способом из функции

lw(q, Р)= J Р (<?+|. Я—|)Ч>р (<Н-|) Ь (<?—|) dl, (5,10а)

где £ обозначает совокупность вспомогательных переменных £_х, |_J( а й\='й%_г ... d%,_s (Е. Wigner, 1932). Действительно, поскольку

$*?(*+т) *р(*-т)*=^в(*+!-*+т)=⁶®'

интеграл ^ I_wdp = p (q, q). Интеграл же ^ I_wdq после замены переменных

9+1/2—±q, q—\j2—*-q' совпадает с интегралом ^ / dq. В отличие от / (q, р),

функция Iw(q, р) вещественна (в чем легко убедиться с учетом эрмитовости матрицы р (g, q')), но, вообще говоря, не везде положительна.

²) В предыдущем параграфе мы говорили о матрице плотности подсистемы, имея в виду ее основные статистические применения. Разумеется, матрицей плотности может описываться и замкнутая система, находящаяся в смешанном состоянии.

на w_mn. Таким образом, получаем искомое уравнение

w_mn = j(E_n—E_m)w_mn. (6,1)

Это уравнение можно переписать в общем операторном виде, заметив, что

(£„ — Е_т) w_mn = S (w_mlH _ln — H_mlw_ln), i

где H_mn—элементы матрицы гамильтониана Н системы, диаго­нальной в принятом нами энергетическом представлении. Поэтому

w =~ (wH—Hw). (6,2)

(Обратим внимание на то, что это выражение отличается знаком от обычного квантомеханического выражения для оператора про­изводной от величины по времени.)

Мы видим, что для обращения в нуль производной по времени от статистической матрицы, оператор w должен быть коммутативен с гамильтонианом системы. Этот результат и представляет собой квантовомеханический аналог теоремы Лиувилля: в классической механике требование стационарности функции распределения при­водит к тому, что w оказывается интегралом движения; комму­тативность же оператора какой-либо величины с гамильтонианом как раз и является квантовомеханическим выражением сохраняе­мости этой величины.

В интересующем нас энергетическом представлении условие стационарности формулируется в особенности просто: как видно из (6,1), матрица w_m„ должна быть диагональной,— опять-таки в соответствии с обычным матричным выражением квантовомеха-нической сохраняемости величины (матрица сохраняющейся вели­чины приводится к диагональному виду одновременно с гамиль­тонианом).

*) Поскольку это утверждение связано в известном смысле с пренебреже­нием взаимодействиями подсистем друг с другом, то точнее можно сказать, что недиагональные элементы w_mn стремятся к нулю по мере уменьшения относи­тельной роли этих взаимодействий, а следовательно, по мере увеличения числа частиц в подсистемах.

Подобно тому как это было сделано в § 3, мы можем теперь применить полученные результаты к квазизамкнутым подсистемам, рассматривая промежутки времени, в течение которых они ведут себя с достаточной точностью как замкнутые. Поскольку статисти­ческие распределения (здесь—статистические матрицы) подсистем должны быть по самому определению статистического равновесия стационарными, то мы, прежде всего, заключаем, что матрицы w_mn всех подсистем диагональны^х). Задача об определении статистиче-

распределение в квантовой статистике

я7

jpcoro распределения сводится, следовательно, к вычислению ве­роятностей w_n = w_nn, которые и представляют собой «функцию ;распределения» в квантовой статистике. Формула (5,4) для сред­него значения какой-либо величины / упрощается и гласит:

/=2^/„„; (6,3)

в нее входят теперь только диагональные матричные элементы /„„.

Далее, учитывая, что w должно быть квантовомеханическим интегралом движения и используя квазинезависимость подсистем, аналогично выводу формулы (4,5) найдем, что логарифм функции распределения подсистем должен иметь вид

1пш_л³⁾ = а^(а> + р£{_г^а> (6,4)

(индекс а отличает различные подсистемы). Таким образом, вероят­ности w„ могут быть выражены в виде функции только от вели­чины уровня энергии: w„ — w(E_n).

Наконец, полностью сохраняют свою силу все изложенные в § 4 соображения о роли аддитивных интегралов движения, в особенности энергии, как определяющих все статистические свой­ства замкнутой системы. Это снова дает возможность составить для замкнутой системы простую функцию распределения, при­годную для описания ее статистических свойств, хотя отнюдь и jpe являющуюся (как и в классическом случае) истинной функ­цией распределения.

Для математической формулировки этого «квантового микро­канонического распределения» надо применить следующий прием. Имея в виду «почти непрерывность» энергетического спектра Макроскопических тел, введем понятие о числе квантовых состоя­ний замкнутой системы, «приходящихся» на определенный бес­конечно малый интервал значений ее энергии¹). Обозначим это число посредством йГ; оно играет здесь роль, аналогичную роли элемента фазового объема dpdq в классическом случае.

Если рассматривать замкнутую систему как состоящую из подсистем, пренебрегая при этом взаимодействием последних, то каждое состояние системы в целом можно характеризовать зада­нием состояний всех отдельных подсистем, и число dT предста­вится в виде произведения

dr = T[dr_a (6,5)

а

^г) Напомним, что мы условились (§ 4) полностью исключать из рассмот­рения импульс и момент системы как целого, для чего достаточно представ­лять себе систему заключенной в твердый «ящик», рассматриваемый в системе координат, в которой он покоится.

чисел dT_a квантовых состояний подсистем (таких, чтобы сумма энергий всех подсистем лежала как раз в рассматриваемом ин­тервале значений энергии всей замкнутой системы).

Мы можем теперь сформулировать микроканоническое распре­деление в виде, аналогичном классическому выражению (4,6), на­писав для вероятности dw нахождения системы в каком-либо из dT состояний следующее выражение:

dw = const • б (Е — £,) П dY_a. (6,6)