§ 70. Плотность числа колебаний

Число колебаний, приходящихся на интервал d^sk = dk_xdk_ydk_z значений компонент волнового вектора, будучи отнесено к еди­нице объема кристалла, равно d³k/(2n)³. Характеристикой спектра колебаний конкретной решетки является функция распределения колебаний почастотам^(со), определяющая числом (co)dco колебаний, частоты которых лежат в заданном интервале между со и со + dco. Это число, разумеется, различно для разных ветвей спектра, но для упрощения обозначений соответствующий индекс а у функ­ций со (к) и g(a>) в этом параграфе мы не будем выписывать.

*) Наличие дефектов решетки приводит также и к некоторым изменениям в спектре ее колебаний — появлению новых частот (отвечающих «локальным» колебаниям вблизи ! дефектов). Исследование этих вопросов—см. И. М. Лиф-шиц, А. М. Косевич, Динамика кристаллической решетки с дефектами, Reports on Progress in Physics, 29, 217, 1966.

Число g (со) dco дается (деленным на (2я)³) объемом к-прост-ранства, заключенным между двумя бесконечно близкими изо-частотными поверхностями (поверхностями постоянной частоты) со (k) = const. В каждой точке k-пространства градиент функции со (к) направлен по нормали к проходящей через эту точку изо-частотной поверхности. Поэтому из выражения dco = dk • y_kco (k) ясно, что расстояние между двумя бесконечно близкими такими поверхностями (измеренное по отрезку нормали между ними) есть dco/| у-_к со |. Умножив эту величину на площадь df_k элемента изочастотной поверхности и проинтегрировав по всей этой поверх­ности (в пределах одной ячейки обратной решетки), найдем ис­комую часть объема k-пространства, а разделив ее на (2л)³,— плотность распределения частот:

8(^а>) = тгъ^ , ^лч . (70,1)

^{6 4} ' (2л)³ J | v_kco (k) I \ > /

В каждой зоне (области значений, пробегаемых некоторой ветвью со (к) в одной ячейке обратной решетки к) функция со (к) должна иметь по крайней мере один минимум и один максимум. Отсюда в свою очередь следует, что эта функция должна обла­дать также и седловыми точками¹). Существование всех таких стационарных точек приводит к определенным особенностям функ­ции распределения частот g(co) (L. van Hove, 1953).

Вблизи экстремальной точки, находящейся при некотором k = k₀, разность со (к)—со₀ (где со₀ = со(к₀)) имеет вид

ю—со₀ = y y_ik (k_t—k_oi) (k._k—k_ok).

Направив координатные оси в k-пространстве вдоль главных осей этой квадратичной формы, запишем её в виде

ю-со₀ = | [_Yl (k_x-h_xf + у₂ {k_u-*,„)* + -k_0s)*], (70,2)

где Yu у₂, Уз — главные значения симметричного тензора y_ik.

Рассмотрим сначала точку минимума или максимума функ­ции со (к). Тогда y_lt у₂, у₃ имеют одинаковый знак. Введя вместо k_x, k_u, k_z новые переменные х_л, х_у, v._t согласно к_х =

- К lYil (**—*»»).' ••■» пишем:

со-со„=±4к + ^ + х|) = ± (^70,3)

При этом изочастотные поверхности в х-пространстве являются сферами. Переходя в (70,1) к интегрированию в х-пространстве, имеем

^{gH =} ^^Il^k' *Н™Иг,|. (70,4)

¹) Можно показать (на чем мы здесь не будем останавливаться), что должно

существовать по крайней мере шесть ссдловых точек, — по три каждого из двух типов, которым отвечают знаки + и — в формуле (70,8) ниже.

Элемент поверхности сферы: df_K — y(.²do_K, где do_K—элемент телес­ного угла. Градиент же функции (70,3): у_ксо(х) = ±х. Поэтому

интеграл в (70,4) оказывается равным 4ях; выразив х через со—со₀ согласно (70,3), окончательно находим

Уц

со

-со„

(70,5)

Таким образом, плотность числа колебаний имеет корневую осо­бенность; производная dg/dto обращается при со ->со₀ в бесконеч­ность.

У\(й — ш₀

(70,6)

Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае (если зна­чение со = со₀ лежит внутри, а не на самых краях полосы изме­нения частоты) изочастотные поверхно­сти для близких к со₀ значений со могут содержать (помимо эллипсоидов вокруг точки k = k₀) еще и другие листы, в других частях ячейки к-пространства. Поэтому в общем случае выражение (70,5) дает лишь «особую» часть плот­ности числа колебаний, так что пра­вильнее писать

g(co)=g(co₀)-

л² У2у

с одной стороны от точки со = со₀ (при со < со₀ в случае максимума, или со > со„ в случае минимума), и g-(co)=g-(co₀) с другой стороны.

Отметим также, что формула (70,5) не относится, конечно, к окрестности нижнего края (со = 0) зоны акустических колебаний, где закон дисперсии имеет вид (69,15). Легко видеть, что в этом случае

g (со) = const со³. (70,7)

Рассмотрим теперь окрестность седловой точки. В этом слу­чае две из величин у_г, у₂, у₃ в (70,2) положительны, а одна отрицательна, или наоборот. Вместо (70,3) будем иметь теперь

со-

-co„ = ±_Y(x! + x²-x_z).

(70,8)

Примем для определенности верхний знак в этом выражении. Тогда изочастотные поверхности при со < со₀ представляют собой двухполостные, а при со > со₀—однополостные гиперболоиды; граничная же поверхность со == со₀ является двухполостным кону­сом (рис. 9).

Интегрирование в (70,4) удобно производить теперь в цилин­дрических координатах в х-пространстве: х_х, и₂, <р, где х^= — V^l-i-Hy, а ф—полярный угол в плоскости н_х, х_у. Абсолют­ная величина градиента: | v«со | = х. При со < со₀ интеграл, берет­ся по двум полостям гиперболоида:

,. 2ях_хх, . . 1 _ р 2лх,Лс_х

N (^2я)³ И ₀^J К х\ +2(со₀-со)

в качестве верхнего предела К (значение которого не отражается на виде искомой особенности) можно взять какое-либо значение х, большое по сравнению с усо₀—со, но в то же время настолько малое, что еще применимо выражение (70,8) для формы изочас-тотной поверхности. В результате находим

g (со) = ₂-^р= [К -V2 (со,- со)].

2 Г 2лх.А<. к

g (со) = т=- \ , = 7= ,

^ё (2я)»Г у J ₂ (co-coo) 2n'-V у

При со > со₀ аналогичным путем находим

*lmln ' -L

где *^£5._min = 2(co—©о)- Таким образом, в окрестности седловой точки плотность числа колебаний имеет вид

_g со₀ — | о _{при ffl<fi)ei}

л² У2у (70,9)

g (со„) при со > со_а.

И здесь g- (со) имеет корневую особенность.

Для седловой точки с нижним знаком в (70,8) получается такой же результат с перестановкой областей со < со„ и со > со₀ (корневая особенность при со > со₀).