§ 68. Сильно анизотропные кристаллы

В конце § 66 было отмечено, что формула Дебая фактически неприменима к кристаллам сложной структуры. Сюда относятся, в частности, сильно анизотропные кристаллические структуры «слоистого» и «цепочечного» типов. Первые можно описать как состоящие из параллельных слоев атомов, причем энергия взаи­модействия атомов внутри каждого слоя велика по сравнению с энергией связи соседних слоев. Аналогичным образом цепочечные структуры построены из сравнительно слабо связанных друг с другом параллельных цепочек атомов. Спектр звуковых коле­баний таких кристаллов будет характеризоваться не одной, а несколькими дебаевскими температурами, различными по порядку величины. Закон Т³ для теплоемкости будет иметь при этом место лишь при температурах, малых по сравнению с наименьшей из дебаевских температур; в промежуточных же областях возникают новые предельные законы (И. М. Лифшиц, 1952).

Начнем со случая слоистых структур. Наибольшей жесткостью такая решетка обладает по отношению к колебаниям атомов в плос­кости слоев (которую выберем в качестве плоскости ху); жесткости же решетки по отношению к колебаниям слоев как целых друг относительно друга сравнительно очень малы. Эти свойства при­водят к характеру зависимости частоты от волнового вектора (закону дисперсии) в трех ветвях спектра звуковых волн, выра­жающемуся следующими формулами, которые мы выпишем здесь в предположении гексагональной симметрии кристалла:

©² = £/²х² + _М²А>², со² = «1х² + «²^

(И²= k_X-j~ky),

(68,1)

причем U_х, (7₂^>«з, «₄. Здесь скорости распространения U_lt U₂ относятся к колебаниям атомов в плоскости слоев, и₃ (в ветвях ©_х и о)₂)—к колебаниям сдвига слоев относительно друг друга,— и₄— к колебаниям относительного расстояния между слоями¹).

^г) Предположение о гексагональной симметрии кристалла не имеет принци­пиального значения и сделано лишь с целью придать формулам (68,1) большую

определенность. Скорости U_t u₄ выражаются через модули упругости Я,^_т

такого кристалла так:

где p —плотность (эти формулы можно получить из выражений, найденных в задаче к VII, § 23, путем разложения их по степеням модулей X_xzxz, X_2ZZZ, которые для слоистого кристалла малы по сравнению с модулями к_хххх, Х_хуХ2). Указанный в тексте характер колебаний ясен из смысла отдельных компонент тензора А_Шя1.

²) Уравнение, определяющее закон дисперсии волн, представляет собой алгебраическое уравнение относительно <а² (см. следующий параграф). Поэтому регулярно разлагается по степеням k_x, к_у, k_z именно функция w²(k). Ввиду четности этой функции (см. § 69) разложение содержит лишь члены четных степеней.

Выражения (68,1), однако, еще недостаточны для исследования тепловых свойств кристалла. Эти выражения представляют собой в действительности лишь первые члены разложения функций со² (к) по степеням волнового вектора. Но ввиду «аномальной» малости некоторых коэффициентов в квадратичных членах этих разложений начинают играть существенную роль также и члены следующего, четвертого порядка²). Для выяснения их вида замечаем, что при полном пренебрежении связью между слоями законы дисперсии волн имели бы вид

a>l=Ubi\ a>l=Ulx\ <ol = y*x*. (68,2)

Частоты со_х и со_а отвечают продольным колебаниям в плоскости слоев, а частота ю₃ — поперечным колебаниям, представляющим собой в этом случае волны изгиба слоев, рассматриваемых как свободные упругие тонкие пластинки (ср. VII, § 25). Поэтому, пренебрегая в членах четвертого порядка малыми слагаемыми, зависящими от связи между слоями, напишем окончательно закон дисперсии волн в виде

<г = и12** + ФЪ <oJ = uJJt« + uJAJ + T^,'<⁴- (68,3)

Будем считать, что 11\~ U\, и_я~ ы₄ и введем обозначение для малого отношения т) ~ u/U, характеризующего относительную величину энергии связи между слоями по сравнению с энергией связи между атомами в одном слое. Введем также дебаевскую температуру (точнее — наибольшую из дебаевских температур) как в = Ао_и, где <u_m~U/a — предельная частота «жестких» ко­лебаний (а — постоянная решетки); предельная же частота «мягких» колебаний мала по сравнению с ы_т в отношении т). Наконец, естественно считать, что предельная частота волн изгиба—того же порядка или меньше чем ©_т; пусть она ~co_m¹). В этих условиях выясним характер температурной зависимости теплоемкости кри­сталла при Г<^0²).

С учетом вклада от звуковых колебаний, свободная энергия тела определяется формулой

F^N_{4 +} T±W(l-e-^n^V-^^, . (68,4)

где суммирование ведется по трем ветвям спектра, а интегриро­вание— по всей области изменения волнового вектора³).

¹) Другими словами, полагаем, что у ~ <o_wa^s ~ Ua. Подчеркнем, что коэф- фициент у, связанный с «поперечной жесткостью» слоев, не выражается через одни только упругие модули \ы_т.

²) Высокие же температуры, Т ^> 9, составляют классическую область, в которой теплоемкость С = const.

³) То есть по одной ячейке обратной решетки—см. ниже формулу (71,7).

Если Г^>г|6, то можно пренебречь связью между слоями и соответственно воспользоваться спектром (68,2). Основной вклад в свободную энергию возникает от «изгибной» ветви (о₃. Ввиду быстрой сходимости при Т<^@ интегрирование по dk_xdk_y можно распространить от —оо до оо. Заменив его интегрированием по 2яха!х, путем очевидной подстановки найдем

со со

( In (1 —e-ftvH'/г) 2ях dx = ~ С In (1 —е-*) dx.

о ^%у i

Интегрирование по dk₂ (по области | k_z | ^ k_{z max} ~ 1 /а) дает не зависящий от температуры множитель ~1/а. В результате найдем, что температурная часть свободной энергии пропорциональна Т² и соответственно для теплоемкости

СсеТ при г|в<Г<в. (68,5)

При Г<^г|в в интегралах (68,4) надо писать для со<х(к) их полные выражения (68,4), а интегрирование по всем компонентам к можно распространить от —оо до оо. Получающаяся таким обра­зом температурная зависимость свободной энергии довольно сложна, но в ней можно выделить еще два предельных случая. Если Т^>у\Щ, то основной вклад снова возникает от ветви со₃, причем в ней можно опустить член с х², т. е. писать

основнуь /х²~7, а

Теперь находим

Действительно, основную роль в интеграле по xdx играют при этом значения ftyx² ~ Т, а тогда Аих~Аи (Tjfry)V*~ Т(у\²в/Т)^1/2<^1.

со «

j jln[l-exp (-А/иМ+Т^

-се О

7"2

2ях dx d£, = const -—,

и в результате для теплоемкости

С<ч>Г^а при т|^гв<Г<Г|в. (68,6)

Наконец, при T<^.rf® тем же способом убеждаемся, что в (68,3) можно опустить член с х\ после чего мы возвращаемся к зву­ковому спектру (68,1) с линейной зависимостью со от величины k, и для теплоемкости получается закон Дебая

Сех>7³ при Г<г|²в. (68,7)

Аналогичным путем можно рассмотреть кристаллы цепочечной структуры (направление цепей выбираем в качестве оси г). В этом случае законы дисперсии в трех ветвях спектра звуковых волн имеют вид

ю?,. = + «#5 + 7**5» ю| = и|х« + ВД, (68,8)

причем теперь и_г, «₂, a₃<^t7₄¹). В пренебрежении взаимодей­ствием между цепями законы (68,8) сводятся к

ветвь (о₃ отвечает продольным колебаниям атомов в цепях, а ветви и со₂—волнам изгиба цепей, рассматриваемых как упру­гие нити. Полагая и_х ~ «₂ ~ и₃ и снова вводя малый параметр v\~u/U и дебаевскую температуру G~^t7/а, можно получить следующие предельные законы температурной зависимости тепло­емкости:

СслГ¹'² при -пв^Г^в,

СспТЫ* при г)²8<^Т<г)в, (68,9)

Сел Г³ при Г<^т)²в.