§ 61. Релятивистский вырожденный электронный газ

По мере сжатия газа средняя энергия электронов увеличи­вается (растет г_Р); когда она становится сравнимой с тс², де­лаются существенными релятивистские эффекты. Мы рассмотрим здесь подробно полностью вырожденный ультрарелятивистский электронный газ, энергия частиц которого велика по сравнению с тс². Как известно, в этом случае энергия частицы связана с ее импульсом соотношением

е = ср. (61,1)

Для числа квантовых состояний, а потому и для граничного импульса имеем прежние формулы (57,1—2). Граничная *же энер­гия (т. е. химический потенциал газа) равна теперь

e_f = _Cp_F=(3K²)i/3^^y^/8. (61,2)

Полная энергия газа

или

(61,3)

Давление газа можно получить дифференцированием энергии по объему (при постоянной, равной нулю,— энтропии). Это дает

Давление ультрарелятивистского электронного газа оказывается пропорциональным его плотности в степени 4/3. Необходимо указать, что соотношение

РУ = Т (61,5)

имеет место для ультрарелятивистского газа в действительности не только при абсолютном нуле, но и при всех температурах. В этом легко убедиться в точности тем же способом, каким было

выведено соотношение (56,8), если только пользоваться для энер­гии е выражением г = ср вместо е = р^а/2/п. Действительно, при е — ср из формулы (53,4) получается

п. V Г ^{83 de} -- ^Е /_К1М

о

Таким образом, для ультра релятивистского ферми-газа дости­гается то предельное значение, которое вообще может иметь (при данном Е) давление какого-либо макроскопического тела (см. § 27). Введя переменную интегрирования e/T = z, напишем:

Q — _ ^VT* Г ^z3dz о

Отсюда видно, что

0 = УГ«/(£). (61,7)

Тем же способом, как это было сделано в § 56, найдем отсюда, что при адиабатическом процессе объем, давление и температура ультрарелятивистского ферми-газа связаны соотношениями

рут ₌ const, VT³ = const, ^ = const. (61,8)

Они совпадают с обычным уравнением адиабаты Пуассона с у = 4/3; подчеркнем, однако, что у отнюдь не является здесь отношением теплоемкостей газа.

Задач и

1. Определить число столкновений со стенкой в ультрарелятивистском полностью вырожденном электронном газе.

Решение. Вычисление производится так же, как в задаче к § 57, причем надо иметь в виду, что скорость электронов о ж с. В результате получается

с N ^V=TF'

2. Определить теплоемкость вырожденного ультрарелятивистского электрон- ного газа.

Решение. Применяя формулу (58,1) к интегралу в (61,6), найдем

⁰ б (chf

Отсюда энтропия

3 (c%f Ъс% \ N)

и теплоемкость

Зс%

3. Определить уравнение состояния релятивистского полностью вырожден­ного электронного газа (энергия электрона связана с импульсом посредством e^! = cy+mV).

Решение. Для числа состояний и граничного импульса имеем прежние формулы (57,1—2), а полная энергия равна

Рр

откуда

cV

Е = |рр (2p_F + m²c²) Vp\ + тЧ*- (тс)* Arsh .

Для давления Р=—(9E/dV)s-o имеем

Полученные формулы удобно представить в параметрическом виде, введя в ка­честве параметра величину

g = 4Arsh-^-. тс

Тогда получим

Jv.= /iE.y_L_Shii,

V \ % ) Зя² 4

= т- ( —sh| sh—+ | )

32я²&4 3 3 2 /

(she;—I).

V 32лФ

Химический потенциал газа и. (включающий в себя энергию покоя частицы) совпадает с предельной энергией &р = г(р_Р). Он связан с плотностью соотно­шением

N 1 /и² ,₂\з/2 ' — т²с² '

V ЗлФ