§ 60. Магнетизм электронного газа. Сильные поля

Рассмотрим теперь поля, для которых значение ВЯ, по-преж­нему малое по сравнению с р,, уже не должно быть малым по сравнению с Т:

Г^рЯ^р,. (60.1)

В этих условиях эффекты квантования орбитального движения и спиновые эффекты уже не могут быть отделены друг от друга и должны учитываться одновременно; другими словами, при вычислении Q надо исходить из выражения (59,14).

Мы увидим, что намагниченность электронного газа при РЯ^Т содержит часть, которая, как функция Я, осциллирует с большой амплитудой; именно эта осциллирующая часть намаг­ниченности и будет интересовать нас здесь.

Для выделения из термодинамических величин их осцилли­рующих частей целесообразно преобразовать сумму (59,14) с по­мощью формулы Пуассона ²):

со оо 00 оо

^x) Она получается из формулы Эйлера—Маклорена, если положить в ней а = 0.

²) Эта формула следует из равенства

со со

2 6 (* — /») = 2 ^e2nlkXi

сумма 6-функций в левой стороне этого равенства представляет собой периоди­ческую функцию переменной х с периодом 1, а сумма в правой стороне есть

Т F (0) +Е F («) = \ F (х) dx + 2 Re £ fF (x)e™^ik*dx, (60,2)

после чего она принимает вид

® = ^Qo(v)+^ReT*h, (60,3)

TmV

где

^{i„ = -m j jln[l+exp(f~^-^)]e«-»*d«dA, (60,4)}

-со 0

a Q„(fi)—термодинамический потенциал в отсутствие поля.

Произведем в интегралах 1_к замену переменной х на е = рЦ2т-\-+ 2х$Н. Для интересующей нас осциллирующей части интегра­лов (которую обозначим через f_k) получим

/, = - | ]ы[l +e*p(H=J)]вхр(^)ехр(--» о

В интеграле по /?_г существенны значения pf/2/n ~ В#. Осцилли­рующая же часть интеграла возникает от области значений е вблизи р, (см. ниже); поэтому нижний предел интегрирования по в заменен нулем (вместо р\\2т).

Интегрирование по р_г отделяется и осуществляется формулой^J)

to

после чего остается

7_А = __е-«я/4 т/ЩИ J in [1 +_е(д-в)/г]_еМЕ/зя^е. . о

разложение этой функции в ряд Фурье. Умножив равенство на произвольную функцию F (х) и проинтегрировав его затем по х от 0 до оо, получим (60,2)

оо

(при этом интеграл ^ F (х) б (х) dx—член суммы с я = 0, распространенный о

лишь по области с одной из сторон от точки х = 0, дает F(0)/2).

^J) Она получается путем поворота пути интегрирования в плоскости ком­плексной переменной р: полагаем р=е~^1Л* и и интегрируем по вещественным значениям а от —оо до оо.

В этом интеграле производим дважды интегрирование по частям, а в остающемся интеграле производим замену переменной

(е—и.)/Г = |. Опустив неосциллирующую часть, получим

Нижний предел интеграла по |, равный —р/Т, в силу условия Р5>>Т заменен на —оо. При ВЯ^Г определяющую роль в ин­теграле играет область |~ 1, т. е. окрестность значений е во­круг р(е—u.~ Т). Интеграл вычисляется по формуле¹)

(*Ч1)^:

^: sh па•

Окончательно для осциллирующей части Q находим

_{й =} У2_(тт^ту^ ~(|£*-т) . ₀₅₎

При вычислении магнитного момента как производной от вы­ражения (60,5), дифференцированию должны подвергаться лишь наиболее быстро меняющиеся множители—косинусы в числите­лях членов суммы. Это дает

_m=-^f^f_X^TVy_L^sm_r-^^{H Tj} _(60,6)

пр Vli f?_x Y k sh (я²/гГ/рЯ) ^{V 7}

(Л. Д. Ландау, 1939). Эта функция осциллирует с большой ча­стотой. Ее «период» по переменной 1/Я есть постоянная величина

A-i = f, (60,7)

не зависящая от температуры. При этом ДЯ/Я~ ВЯ/р^с 1²).

^х) Подстановкой (e^-f-1)^_1 = « интеграл приводится к В-интегралу Эйлера: д

^ (1 —«)'^aM^_'^a du = Г (1 + ia) Г (1 — ta)/T (2) о

и по формуле

Г (1— г)Г(1+г) = пг/мпяг

получается указанный в тексте результат.

²) Эффект осцилляции намагниченности был качественно предсказан Лан­дау (1930). Это явление в металлах называют эффектом де-Гааза~еан-Альфена.

При ВЯ ~ Т амплитуда колебаний магнитного момента ш~ V\iH^l/i (mB)^3/2A~^s. «Монотонная» же часть намагниченности (обозначим ее 9)1), определяющаяся по вычисленной в предыдущем параграфе восприимчивости: 931 ~ Vu.^1/2#/n^3/2B²&^_3. Поэтому

Ш/Ш ~ (ц./8#)^1/2—амплитуда осциллирующей части велика по сравнению с монотонной. Напротив, при ВЯ<^Г эта амплитуда экспоненциально убывает (как ехр (—л^гТфН)) и становится пре­небрежимо малой.