Таким образом, теплоемкость вырожденного ферми-газа при низких температурах пропорциональна первой степени темпе­ратуры.

§ 59. Магнетизм электронного газа. Слабые поля

Намагниченность электронного газа в слабых магнитных полях складывается из двух независимых частей: из парамагнит­ной намагниченности, связанной с собственным (спиновым) магнит­ным моментом электронов (парамагнетизм Паули, W. Pauli, 1927) и из диамагнитной намагниченности, связанной с квантованием орбитального движения электронов в магнитном поле (диамагне­тизм Ландау, 1930). Вычислим соответствующие магнитные восприимчивости, предполагая газ вырожденным: температура Т<<с.г_Р. Условие слабости магнитного поля означает, что должно быть (см. ниже) ВЯ^Г, где $ — \е\А/2тс—магнетон Бора¹).

Для вырожденного газа термодинамические вычисления удоб­нее производить в независимых переменных Т, V, р. (вместо переменных Т, V, N). Соответственно этому вместо формулы (52,1), использованной при вычислении магнитного момента больцма-новского газа, здесь мы будем вычислять его как производную

(59,1)

от термодинамического потенциала Q.

Определим сначала парамагнитную часть восприимчивости. Дополнительная (спиновая) энергия электрона в магнитном поле равна ±ВЯ, где два знака отвечают двум значениям (+1/2) проекции спина на направление поля. Статистическое распределе­ние электронов в магнитном поле отличается, следовательно, от распределения в отсутствие поля заменой энергии е = р²/2т на е = р²/2т±ВЯ. Но поскольку е входит в распределение в ком­бинации е—р, с химическим потенциалом, то эта замена экви­валентна замене р. на р =F ВЯ. Поэтому потенциал Q электрон­ного газа в магнитном поле может быть представлен в виде

Q (ц) = у О, (ц + ВЯ) + ~ Q₀ (р-ВЯ),

(59,2)

^J) В обратном случае высоких температур (Т ^> е_Р) электроны образуют больцмановский газ, и парамагнитная часть его восприимчивости, отнесенная к единице объема; Хпара ^{= лг}Р²/^ (формула (52,8) с g=2,

у = 1/2).

где Q₀(p)—потенциал в отсутствие поля (аргументы Т, V для

краткости не выписываем); два члена в этой сумме отвечают совокупностям электронов с различными проекциями спина, а множители 1/2 учитывают уменьшение вдвое числа квантовых состояний электрона при фиксировании значения проекции его спина.

Произведя в (59,2) разложение по степеням 6Я, получим

QM^QoM+yP²^-^, (59,3)

<3²р_

откуда магнитный момент Ш = —Щ²-~. Но производная

dQ₀/du. = — N, так что парамагнитная восприимчивость, которую в этом параграфе относим к единице объема газа:

у E!^o ₌ P_²W (59 4)

Лпара— у ^2 у ^<J|1 / T,v' W.^-*/

Пренебрегая малым (при Т<^.\х) температурным эффектом, т. е. считая газ полностью вырожденным, имеем из (57,3)

Зл²П³ '

и дифференцирование дает

Хпара - ТГ^Г* ■ (^&У>^

Р² (2т)³/^а /р7 _ « 2яФ ~" яФ

Обратимся к вычислению диамагнитной восприимчивости. Уровни энергии орбитального движения электрона в магнитном поле даются выражением

е = 5| + (2л + 1)РЯ, (59,6)

где ,г = 0, 1, 2, а р_г—импульс в направлении поля — про­бегает непрерывный ряд значений от —со до оо (см. III, § 112). При этом число состояний в интервале dp_z при каждом задан­ном значении п есть

где множитель 2 учитывает два направления спина. Выраже­ние (53,4) для потенциала Q принимает вид

0 = 2рЯ 2 Л> —(2л + 1)рЯ], (59,8)

Сумму (59,8) можно вычислить с требуемой точностью с по­мощью формулы¹)

fv(n+|)« ]f (x)dx + ±f'(0). (59,10)

п=0

Условие применимости этой формулы состоит в малости относи­тельного изменения функции f на одном шаге (п-*-п + 1). В при­менении к функции (59,9) оно сводится к требованию 6Я<^Г²). Применив (59,10) к сумме (59,8), получим

— со

Первый член не содержит Я, т. е. представляет собой потен­циал Q₀ (и.) газа в отсутствие поля. Таким образом,

Q = Q₀(|i)—1в²Я²^|^, (59,11)

и отсюда восприимчивость³)

Хдиа ⁼ зу 3^2 ⁼ "з" Хпара-

(59,12)

В целом газ парамагнитен с восприимчивостью х = 2хпа_Ра/3-Мы произвели здесь вычисление обеих ее частей по отдельности с целью уяснения их происхождения. Разумеется, можно было бы вычислять также и сразу суммарную восприимчивость Для этого надо было бы писать уровни энергии электронов

^х) Согласно известной формуле суммирования Эйлера—Маклорена

1F (а) + 2 F (а + «) « J F (*) ^ ^f' <^а>- (⁵⁹-^10а)

л= 1 а

Формула (59,10) получится отсюда, если положить а=1/2 и представить функ­цию F (х) в интервале 0«5л:<1/2 в виде F (х) и F(0) + ^f'(0).

²) В противном случае условие нарушается в «опасной» области значе- ний п, для которых разность р,—(2я-|-1)РЯ близка к нулю. Эта область приводит (см. следующий параграф) к появлению в Q быстро осциллирующих (как функция от Я) членов. Эти члены исчезнут, если произвести усреднение ряда (59,8) по некоторому интервалу ДЯ такому, что изменение аргумента р.—2р«Я (вблизи точки, где ц.—2|3л# я 0) будет существенно больше, чем разность его двух соседних значений: ря <5с; л$ ДЯ ~ ц ЛЯ/Я или ДЯ/Я ^> ^рЯ/ц. После этого формула (59,10) станет вновь применима, и получаю- щийся с ее помощью результат будет ограничен лишь условием рЯ <^ ц.

³) Отметим, что это соотношение справедливо при любой степени вырож- дения газа.

в виде e = pf/2m + (2ra + l) рЯ± РЯ, получающемся прибавле­нием к (59,6) спиновой магнитной энергии ±РЯ. Эту совокуп­ность значений е можно представить и как

e=ij + 2np#, « = 0, 1, 2, ... (59,13)

причем каждое значение с п^О встречается дважды, а с п = 0 один раз; другими словами, плотность числа состояний с пфО дается той же формулой (59,7), а для п = 0 она вдвое меньше. Потенциал Q определится тогда суммой

С ^

□ = 2ВЯ{1/(р.)+Х/ал-2ВЯя)}, (59,14)

а для ее вычисления надо воспользоваться формулой¹) 1 ⁰⁰ "г 1

£F (0)^f (") = .! F(x)dx-±F'(0). (59,15)

n=l 6