§ 58. Теплоемкость вырожденного электронного газа

При температурах, низких по сравнению с температурой вы­рождения T_F, функция распределения (57,4) имеет вид, изобра­женный на рис. 6 пунктирной линией: она заметно отлична от единицы или нуля лишь в узком интервале значений энергии 8,близ­ких к граничной энергии г_Р. Ширина этой, как говорят, зоны размытости распределения Ферми—порядка величины Т.

Выражения (57,6—7) представляют собой первые члены раз­ложения соответствующих величин по степеням малого отношения Т/Т_Р. Определим следующие члены этого разложения.

В формулу (56,6) входит интеграл вида

/ (е) de.

+ 1

где [(г) — некоторая функция (такая, что интеграл сходится); в (56,6) f(e) = e^3/2. Преобразуем этот интеграл, сделав подста­новку е—ц = Тг:

и/т

/Qi + Гг) dz е^г+1

-ц/Г 0 0

В первом интеграле пишем

_L_ _{= 1} L_

е~^г+1 е^г+1

и находим

/ = |/(_e)de-rf^^ ₊ TJOi^₍

Во втором интеграле заменяем верхний предел бесконечностью, имея в виду, что ц/Т^>\, а интеграл быстро сходится¹). Таким образом, получим

i=lmdB+T]^+^T%-\^dz.

о о

Разлагаем теперь числитель подынтегрального выражения во втором интеграле в ряд Тэйлора по степеням г и интегрируем почленно:

pi со со

0 0 о

Подставляя значения интегралов²), имеем окончательно

/ = j f (8) ds + ^ T*f (р.) +|РГМ+... (58,1)

о

^J) Эта замена означает пренебрежение экспоненциально малыми ч пенами. Надо иметь в виду, что получающееся ниже разложение (58,1) представляет собой асимптотический (а не сходящийся) ряд.

²) Интегралы такого типа вычисляются следующим образом:

» со _м

_{J 9+х=1} ^гХ_~^ч_~^г _Ё ⁽_~^)п

0 0 я=0

= Г (х) £ (-)» + »± = (1-21-*) Г (*) 2 ,

л=1 п=1

или

со

£^£5+х=<¹-²¹-*)^гмсм <*>°)-

о

где £(х)— £-функция Римана. При х—1 это выражение дает неопределенность; значение интеграла

о

При целом четном х(*=2п) ^-функция выражается через так называемые числа Бернулли В_п, и получается

со

о

Аналогичным образом вычисляются следующие интегралы:

Третий член разложения приведен для справок; здесь он нам не понадобится.

Полагая в формуле (58,1) / = е^3/2 и подставляя в (56,6), полу­чим искомый следующий член разложения потенциала Q при низких температурах:

^{Q = Q}₀^{—VT' l^f- ■ (58,2)}

Посредством Q₀ обозначена величина Q при абсолютном нуле температуры.

Рассматривая второй член как малую добавку к Q₀ и выра­жая в нем [I через Г и У с помощью «нулевого приближения» (57,5), мы можем непосредственно написать выражение для сво­бодной энергии (согласно теореме о малых добавках (24,16)):

_F==Fe-±_NT*(V_y\ ₍₅₈₍3)

где мы ввели для краткости обозначение

МтГг,- (58-4)

з; р-

Отсюда находим энтропию газа

s = w(jry. (58,5)

его теплоемкость^х)

C = pNT[U^t/\ (58,6)

о

При целом четном х=2п имеем

J e^z— 1 ~ 4я о

Приведем для справок несколько первых чисел Бернулли и несколько значений £-функций:

я ¹ и ¹ д - ¹ В -1-

С (3/2) = 2,612, С (5/2)= 1,341, 2(3) = 1,202, g <5) = 1,037;

Г (3/2) = Г (5/2) = 3 Уп /4.

^г) Мы не пишем индекса v или р у теплоемкости, так как в этом прибли­жении C_v и С_р совпадают. Действительно, мы видели в J 23, что если S стре­мится при Т—*0 к нулю, как Т", то разность C_p—C_v обращается в нуль, как Т^2и+1; в данном случае, следовательно,

C_p-C_vv>T*.

и энергию

= £, 1 + 0,18

₍

(58,7)