§ 55. Неравновесные ферми- и бозе-газы

Подобно тому, как это было сделано в § 40, можно вычислить энтропию также и неравновесных ферми- и бозе-газов, а из ус­ловия максимальности энтропии снова получить функции рас­пределения Ферми и Бозе.

В случае Ферми в каждом из квантовых состояний может находиться не более одной частицы, но числа N_;- не малы, а, вообще говоря, того же порядка величины, что и числа G_y- (все обозначения—те же, что и в § 40).

Число возможных способов распределения N_y- одинаковых частиц по Gj состояниям (не более чем по одной в каждом) есть не что иное, как число способов, которыми можно выбрать N j из Gj состояний, т. е. число сочетаний из G_y- элементов по Nj. Таким образом, имеем

^1⁼ Л'у! (Gj — Nj)l' (⁵⁵'^!)

Логарифмируя это выражение и воспользовавшись для лога­рифмов всех трех факториалов формулой (40,3), найдем

S = 2 {Gj In Gj—Nj In Nj-(Gj-Nj) In (G,-Nj)). (55,2)

Вводя снова средние числа заполнения квантовых состояний /г_;- = = Nj/Gj, получим окончательно следующее выражение для эн­тропии неравновесного ферми-газа:

S = — ^ Gj [7ij In Hj + (1 —nj) In (1 — n,)]. (55,3)

Из условия максимальности этого выражения по уравнениям (40,8) легко найти, что равновесное распределение определяется формулой

1

я,-

7 _в«_+рв/+1 •

т. е., как и следовало, совпадает с распределением Ферми.

Наконец, в случае статистики Бозе в каждом квантовом со­стоянии может находиться любое число частиц, так что стати­стический вес АГу есть число всех способов, которыми можно распределить Nj частиц по G_y- состояниям. Это число равно¹)

_{Gj + Nj-l)\ ^ДГ;= _{Gj-l)\Nj\ • (⁵-⁵>⁴>

Логарифмируя это выражение и пренебрегая при этом единицей по сравнению с очень большими числами Gj-\-Nj и Gj, получим

i) Речь идет о числе способов размещения, скажем, Nj одинаковых шаров по Gj ящикам. Изобразим шары в виде ряда последовательно расположенных N j точек; ящики перенумеруем и изобразим условно границы между ними Gj—l вертикальными черточками, расположенными в ряду точек. Так, рисунок

изображает 10 шаров, размещенных в пяти ящиках: 1 шар в первом ящике, 3—во втором, 0 — в третьем, 4—в четвертом и 2 —в пятом. Всего число мест (на которых находятся точки или черточки) в этом ряду есть Gj-j-Nj—1. Ис­комое число размещений шаров по ящикам есть число способов, которыми можно выбрать Gj—1 мест для черточек, т. е. число сочетаний из Nj-j-Gj—1 элемен­тов по Gj—1, откуда и получается приведенная в тексте величина.

5 = 2 Щ + Nj) In (Gj + N_f)-Nj In N,-Gj In G,j. (55,5)

Вводя числа п_}, напишем энтропию неравновесного бозе-газа в виде S = £ Gj[(l + h~;) In (1 + n,) — n_y In nj[. (55,6)

Легко убедиться в том, что условие максимальности этого выражения действительно приводит к распределению Бозе.

Обе формулы (55,2) и (55,5) для энтропии в предельном слу­чае N_f<^.Gf переходят, естественно, в больцмановскую формулу (40,4). В больцмановское выражение (40,2) переходят также и статистические веса (55,1) и (55,4) статистик Ферми и Бозе; для этого надо положить

Gj\ »(G_f—Nj)\ G?', (Gj + N_f-1)! » (Gj-1)! Gp.

Необходимо, однако, иметь в виду, что такой переход в стати­стических весах означает пренебрежение в них членами порядка N)IG,; которые сами по себе, вообще говоря, не малы; но при логарифмировании эти члены дают в энтропии поправку малого относительного порядка Nj/Gf.

Наконец, выпишем формулу для энтропии бозе-газа в важном предельном случае, когда число частиц в каждом квантовом со­стоянии велико (так что A/_;Sg>G,-, «_у-^> 1). Как известно из кван­товой механики, этот случай соответствует классической волно­вой картине поля. Статистический вес (55,4) приобретает вид

_</-

^АГ/ = <5рТД. (55,7)

а энтропия

S = £G_y ln-^A (55,8) Мы используем эту формулу в дальнейшем, в § 71.