§ 43. Идеальный газ с постоянной теплоемкостью

Мы увидим в дальнейшем, что в целом ряде важных случаев теплоемкость газа оказывается —в более или менее значительных интервалах температуры — величиной постоянной, не зависящей от температуры. Имея в виду это обстоятельство, мы вычислим здесь в общем виде термодинамические величины такого газа.

Дифференцируя выражение (42,9) для энергии, найдем, что функция f (Т) связана с теплоемкостью c_v посредством — Tf" (T) — c_v. Интегрируя это соотношение, получим

f(T) = -c_vT\nT-t,T + e_l>)

где £ и е₀—постоянные. Подставляя в (42,4), получим для сво­бодной энергии следующее окончательное выражение:

F = Ne₀—А/Г1п^—NcJlnT—NIT. (43,1)

Постоянная £ называется химической постоянной газа. Для энер­гии получим

E = Ne₀ + Nc_vT, (43,2)

т. е. линейную функцию температуры.

Термодинамический потенциал Ф газа получается прибавле­нием к (43,1) величины PV = NT, причем надо еще выразить объем газа через давление и температуру:

Ф = Ыг_л + ЫТ\пР — NCpTlnT—NIT. (43,3)

Тепловая функция W = E + PV равна

W^N*₀ + Nc_pT. (43,4)

Наконец, дифференцируя (43,1) и (43,3) по температуре, получим энтропию, выраженную соответственно через Г и У или Т и Р:

S^Nln^-+Nc_v\nT + (l + c_v)N. (43,5)

S = — N\nP + Nc_plnT + (l + c_p)N. (43,6)

Из этих выражений для энтропии можно, в частности, не­посредственно получить зависимость, связывающую объем, тем­пературу и давление идеального газа (с постоянной теплоемко­стью) при его адиабатическом расширении или сжатии (так на­зываемая адиабата Пуассона). Поскольку при адиабатическом процессе остается постоянной энтропия, то из (43,6) имеем: — NlnP+ Nc_plnT = const, откуда Т^ср/Р~ const или, исполь­зуя (42,11),

jvpi-v^ const, (43,7)

где у обозначает постоянное отношение

Используя также уравнение состояния PV = NT, получим соот­ношения между Г и У и между Р и V

7У-^г = const, PV=* const. (43,9)

Задачи

1. Два одинаковых идеальных газа с одинаковыми давлениями Р и числом частиц N, но с разными температурами T_t и Т₂, находятся в сосудах с объ­емами Kj и V₂. Затем сосуды соединяются. Найти изменение энтропии.

Решение. До соединения сосудов энтропия обоих газов (равная сумме их энтропии) была согласно (43,6) S₀ = —2N \nP-\-Nc_p \пТ_гТ₂ ¹). После со­единения сосудов температуры газов выравниваются. Сумма энергий обоих газов остается постоянной. Пользуясь выражением (43,2) для энергии, находим

7^, = ¹/₂(7^,1+7^,₂)

(Т—температура после выравнивания).

После соединения сосудов газ имеет 2N частиц и занимает объем Vi + V₂ = = N (Г₁ + 7^,₂)/Р. Его давление теперь равно 2NT/(V₁-{- V₂) =Р, т. е. остается тем же. Энтропия при этом равна

S = — 2N In Р + 2Nc_p In ^Tl^^T2

Изменение энтропии

AS = S—S₀ = Nc„ ln^¹^^Ti)2

2. Найти работу, производимую над идеальным газом при адиабатическом сжатии.

Решение. При адиабатическом процессе количество тепла Q=0, так что R=E₂—E_lt где Е₂—Е_г — изменение энергии при процессе. Согласно (43,2) находим: R—Nc_v{T₂—T_t), где Т₂ аТ_г—температуры газа после и до процесса; R можно выразить через начальный и конечный объемы V_x и V₂, пользуясь соотношением (43,9):

3. Найти количество тепла, получаемого газом при процессе, происходящем при постоянном объеме (изохорном).

Решение. Поскольку в данном случае работа R=0, то имеем

Q=£₂-£₁ = №_B(7'₂-r₁).

4. Найти работу и количество тепла при процессе, происходящем при постоянном давлении (изобарном).

Решение. При постоянном давлении имеем

R^-PWi-VJ, Q = V_t-W_lt

откуда

R — M (Tj—Т₂), Q=Nc_p(T_t-T₁).

5. Найти работу, совершаемую над газом, и количество тепла, получаемое им при сжатии от объема V_x до объема V₂, согласно уравнению PV"=a (по- литропический процесс).

Решение. Работа

^{R =- j Р йУ=^ vl~n).}

v.

*) Несущественные при решении задач постоянные члены в энтропии и энергии мы везде опускаем.

Поскольку сумма количества тепла и работы равна полному изменению энер­гии, имеем: Q=Nc_v(T₂—T₁) — R, и так как Т=PVjN = (a/w) V¹-", то

6. Найти работу, производимую над идеальным газом, и количество тепла, получаемое им, когда газ совершает круговой процесс (т. е. после процесса возвращается в исходное состояние), состоящий из двух изохорных и двух изо- барных процессов: газ переходит из состояния с давлением и объемом Р_г, V_x в состояние с Р_х, V₂, далее в состояние с Р₂, V₂, далее с Р₂, К_х и, наконец, опять с Pj, Vj.

Решение. Изменение энергии при круговом процессе равно нулю, так как исходное состояние совпадает с конечным. Поэтому работа и количество тепла, получаемые при таком процессе, равны друг другу с обратными зна­ками {R =—Q). Для того чтобы найти R в данном случае, замечаем, что при изохорных процессах работа равна нулю, а при двух изобарных, соответственно, — PiiVz—Vi) ^и — ^Р2 {Vi — ^2)- Таким образом,

R = (V₂-V₁) (Р₂-Рг).

7. То же для кругового процесса, состоящего из двух изохорных и двух изотермических (последовательные состояния газа имеют объем и температуру: 1) V_lt Т_г\ 2) V_lt Т₂; 3) V_t, Т₂; 4) V_t, Тц 5) V_u TJ.

Решение.

/?=(7",-Г₁)ЛЛп^.

8. То же для цикла из двух изотермических и двух адиабатических про- цессов (последовательные состояния имеют энтропию, температуру и давление: 1) S_u Т_ъ Р_г; 2) S_lf Т₂; 3) S_2> Т₂, Р₂; 4) S₂, T_t; 5) S_lt Т_1г Р_х).

Решение.

Q=(T₁-T₁)(S₁-S₁) = (T,-r₁) (tf \n^+Nc_p ln£i

9. То же для цикла из двух изобарных и двух изотермических процессов (последовательные состояния: 1) P_lt Т_г; 2) P_lt Т₂; 3) Р₂, Т₂; 4) Р₂, 7\; 5) P_lt TJ.

Решение. Работа, произведенная над газом при изобарных процессах,

р

равна (см. задачу 4) N (Т_г—Т₂) и N(T₂—Tj), а при изотермических NT₂ In ^

р ¹

и NTx In ~ . Сумма их равна

R = M (Г₂—7\) In J².

10. То же для цикла из двух изобарных и двух адиабатических процес- сов (последовательные состояния газа: 1) Р_1г S_lt Т_х; 2) Р₁₍ S₂; 3) Р₂, S₂, Т₂; 4) Р₂, S_i; 5) P_lr S_u 7\).

Решение. Температура во втором состоянии есть Т₂(Р₂/Р₁у¹~^у>'^у, а в четвертом Т₁(Р₁/Р₂)^~^у)/"^/ (их можно найти из 7\ и Т_ъ с помощью соот­ношения (43,7)). Количество тепла, получаемое газом при адиабатических процессах, равно нулю, а при изобарных (см. задачу 4)

i-v

у

1-у у

ffc_p

Таким образом, Q =

Pi

1-у у

Nc_r,

+ Nc_pT₂

1-у у

П. То же для цикла из двух изохорных и двух адиабатических процес­сов (последовательные состояния: 1) V_lt S_lt 7\; 2) V_t, S₂; 3) V._it S₂, Т₃; 4) V_t, S_l5 5) V_lt Si, T_x).

.(Yi

R = Nc_vT₂ 1

1

Решение. С помощью результата задачи 2 находим

7-1

_:йг:

12. Определить максимальную работу, которую можно получить при со­единении сосудов с двумя одинаковыми идеальными газами, имеющими оди­наковые температуру Го и число частиц N, но разные объемы V_x hV₂.

Решение. Максимальная работа совершается, если процесс происходит обратимо, т. е. остается постоянной энтропия; при этом работа равна разности энергий до и после процесса (§ 19). До соединения сосудов энтропия обоих газов, равная сумме их энтропии, была, согласно (43,5)

S₀ = N \_n^e-^p+2Nc_v\n Т₀.

зани-

После соединения сосудов мы имеем газ, состоящий из 2JV частиц, мающий объем У_г-\-У₂ ^ПР^Н некоторой температуре Г. Его энтропия

2N

e(Vi + V₂)

S = 2N In

Из условия S₀=iS находим температуру Г:

v-i

2

Г = Г„

[(V

Энергия обоих газов до соединения сосудов была E₀ = 2Nc_vT₀. После соединения Е~2Nc_vT. Поэтому максимальная работа

2

R_m3X = E₀-E=2Nc_v (T₀-T) = 2Nc_vT_l

1

0'i + Va)¹

13. To же, что в предыдущей задаче, если до соединения сосудов газы имели одинаковое давление Р₀ и разные температуры Т_г и Т₂. Решение. Аналогично решению задачи 12 находим

( 111)

т 2 [

ТгТ₂

(Тг + Т₂)*\ )

14. Найти минимальную работу, которую надо произвести над идеальным газом для того, чтобы сжать его от давления Р_г до давления Р₂ при посто­янной температуре, равной темпер'атуре среды (Т = Т₀).

Решение. Согласно (20,2) минимальная работа R_mia = (£,—£J — — Г₀ (S₂—Sj) + Po (V₂ —V_x), где индексы 1 и 2 показывают, что величины относятся к газу до и после сжатия. В данном случае энергия Е не меняется (так как температура постоянна), т. е. Е_г—E^ — Q. Пользуясь (43,6), нахо-

р

дим изменение энтропии при изменении давления от Р_г до Р₂: 5₂—S_X=N \п-^ ,

изменение же объема: V»

Отсюда находим