§ 30. Распределение вероятностей для осциллятора

Рассмотрим тело, атомы которого совершают малые колебания относительно некоторых положений равновесия. Речь может идти о колебаниях атомов кристалла или о колебаниях атомов в мо­лекулах газа (в последнем случае движение молекулы как целого не влияет на колебания атомов в ней и не сказывается на ре­зультатах).

Как известно из механики, функция Гамильтона (энергия) системы, состоящей из произвольного числа частиц, совершающих малые колебания, может быть представлена в виде суммы

а

где q_a— так называемые нормальные координаты колебаний (вточ­ках равновесия q_a = 0), р_а = q_a—соответствующие им обобщенные импульсы, а со_а—частоты колебаний. Другими словами, Е(р, q) распадается на сумму независимых членов, каждый из которых соответствует отдельному нормальному колебанию (или, как го­ворят, осциллятору). В квантовой механике то же самое имеет место для оператора Гамильтона системы, так что каждый осцил­лятор квантуется независимо, и уровни энергии системы пред­ставляются суммами

а

(п_а—целые числа).

В силу этих обстоятельств распределение Гиббса для системы в целом распадается на произведение независимых множителей, каждый из которых определяет статистическое распределение для отдельного осциллятора. На этом основании мы рассматриваем ниже отдельный осциллятор.

¹) Нормальная координата q имеет размерность см-г^'.

Определим распределение вероятностей для координаты q ос­циллятора¹) (индекс а, указывающий номер осциллятора, в даль­нейшем везде опускаем). В классической статистике этот вопрос решался бы совсем просто: поскольку потенциальная энергия осциллятора есть Va®²?², ^т0 распределение вероятностей дается формулой

(Uug^Ae-^'i'^dq, или, определяя А из условия нормировки,

dw_t=j2=re-"<™dq (30,1)

(интегрирование по dq можно производить ввиду быстрой сходи­мости интеграла в пределах от — оо до + оо).

Обратимся к решению поставленной задачи в квантовом слу­чае. Пусть т|>„(<7)—волновые функции стационарных состояний осциллятора, соответствующие уровням энергии

Если осциллятор находится в п-и состоянии, то квантовоме-ханическое распределение вероятностей для его координаты опре­деляется квадратом г|>Ц (в данном случае функции i|>„ вещественны, и поэтому мы пишем просто яр£ вместо квадрата модуля |гр_в|^а). Искомое статистическое распределение вероятностей получится, если умножить на вероятность w_n найти осциллятор в п-м состоянии, а затем суммировать по всем возможным состояниям.

Согласно распределению Гиббса w„ имеет вид

w_a = ae~^e"^IT,

где а—постоянная. Таким образом, получаем формулу

«

dw. = adq 2 е"^е«^/Г ЧЯ, (30,2)

п=0

которая находится, разумеется, в полном соответствии с общей формулой (5,8).

Для вычисления стоящей здесь суммы можно применить сле­дующий прием. Вводим обозначение dw_q = p_ndq и составляем про­изводную

Введя оператор импульса р = — ihdjdq и помня, что импульс осциллятора имеет отличные от нуля матричные элементы лишь для переходов с п—+п± 1 (см. III, § 23), пишем:

(0

= £ (?»-!, пЪп-1 — Яа + Ь Л +

(использованы соотношения

Ри-1, п = — "°<7л-1, п. Pn+L п = "°<7л + 1, п

между матричными элементами импульса и координаты). Таким образом, имеем

В первой сумме меняем обозначение индекса суммирования (п—*-—► л-f-l) и, принимая во внимание соотношения

находим

Аналогичным образом найдем равенство

сс

др, = а(1+е-^/⁷') 2 ?_я,_{в + 1}1М>_в+хе-^е»>^г.

л = 0

Сравнив оба равенства, получим уравнение откуда

^p_e ^{= const-ехр(— аг J th^}

Определяя постоянную из условия нормировки, получим окон­чательно следующую формулу (F. Block, 1932):

^=(i^th|)"'^exp(-'^,f^thi?)^d'- <^

Таким образом, и в квантовом случае вероятности различных значений координаты осциллятора распределены по закону вида ехр(—Ш7²), но с другим по сравнению с классической статисти­кой значением коэффициента а. В предельном случае %ы<^Т, когда квантование уже не играет роли, формула (30,3), как и следовало, переходит в (30,1).

В обратном предельном случае fm^>T формула (30,3) пере­ходит в т. е. в чисто квантовое распределение вероятностей координаты в нормальном состоянии осциллятора¹). Это соответствует тому, что при Т <^Дсо колебания осциллятора практически не воз­буждены.

Распределение вероятностей для импульса осциллятора можно написать по аналогии с (30,3), не проводя вычислений заново. Дело в том, что задача о квантовании осциллятора полностью симметрична в отношении координаты и импульса, и волновые функции осциллятора в р-представлении совпадают с его обыч­ными координатными волновыми функциями (с заменой q на р/со; см. III, § 23, задача 1). Поэтому искомое распределение есть

В классическом предельном случае (fm <<; Т) оно переходит в обыч­ное распределение Максвелла

dw_p=(2nT)-^e-P'^/2Tdp. (30,5)

Задача

Определить координатную матрицу плотности гармонического осцил­лятора.

Решение. Координатная матрица плотности осциллятора, отвечающая статистическому равновесию, определяется формулой

_p(M')="i;«"⁸_"\(«')i(?)

я = 0

(ср. примечание на стр. 31). Положим q = r-\-s, q'—r— s и вычислим про­изводную (dp/ds)_r. Подобно аналогичному вычислению в тексте, получим

*₌*-jE. ₌ _^ (l _{+ e}-Wr)v q_n,_{n + l}l^_n+imn(q')-^(q)^ _{+ 1}(q')]. ds dq dq % ^

_U)r-^sp_T^cth_-

Вычислив таким же образом величину sp = (q—q')p/2 и сравнив с найденной производной, получим

па

откуда

Функция A(r) определяется требованием, чтобы при s=0, т. е. q = q' = r «диагональные элементы» матрицы плотности р (q, q) совпадали с (30,3). Окон­чательно:

, п / ю _1U »Cd\i/! ( co(g + 9')²., йсо u>(q—q')² ,, ha> \

!) Это есть квадрат модуля волновой функции нормального состояния осциллятора.