§ 29. Распределение Максвелла

Энергия Е(р, q) в формуле распределения Гиббса классической статистики всегда может быть представлена как сумма двух частей — кинетической и потенциальной энергий. Из них первая есть квадратичная функция от импульсов атомов¹), а вторая—функ­ция от их координат, причем вид этой функции зависит от закона взаимодействия частиц внутри тела (и от внешнего поля, если таковое имеется). Если кинетическую и потенциальные энергии обозначить соответственно как К (р) и U (q), то Е (р, q) — =К{р) + и (я), и вероятность dw = p(p, q)dpdq напишется в виде

*) Предполагается, что мы пользуемся декартовыми координатами.

т. е. разбивается на произведение двух множителей, из которых один зависит только от координат, а другой—только от импуль­сов. Это означает, что вероятности для импульсов и координат независимы друг от друга в том смысле, что определенные зна­чения импульсов никак не влияют на вероятности тех или иных значений координат, и обратно. Таким образом, вероятность раз­личных значений импульсов может быть написана в виде

dw_p = ae-KM'^Tdp, (29,1)

а распределение вероятности для координат

dw_g=be-^u^)/Tdq. (29,2)

Так как сумма вероятностей всех возможных значений импуль­сов (и то же самое для координат) должна быть равна единице, то каждая из вероятностей dw_p и dw_g должна быть нормирована, т. е. их интегралы по всем возможным для данного тела значе­ниям импульсов или координат должны быть равны единице. Из этих условий можно определить постоянные а и b в (29,1) и (29,2).

Займемся изучением распределения вероятностей для импуль­сов, еще раз подчеркнув при этом весьма существенный факт, что в классической статистике такое распределение нисколько не зависит от рода взаимодействия частиц внутри системы или от рода внешнего поля и потому распределение может быть выражено в виде, пригодном для любых тел¹).

Кинетическая энергия всего тела равна сумме кинетических энергий каждого из входящих в него атомов, и вероятность опять разбивается на произведение множителей, из которых каждый зависит от импульсов только одного из атомов. Это вновь озна­чает, что вероятности импульсов различных атомов не зависят друг от друга, т. е. импульс одного из них никак не влияет на вероятности импульсов всех других. Поэтому можно писать рас­пределение вероятностей для импульсов каждого атома в отдель­ности.

Для атома с массой т кинетическая энергия равна (pl + Pl + pt)/2m, где р_х, р_у, р_г—декартовы составляющие его импульса, а распределение вероятностей имеет вид

dw^ae~^^{(vl +Р}" dp_xdp_ydp_z.

Постоянная а определяется условием нормировки. Интегрирова­ния по dp_x, dp_y, dp_z разделяются и производятся с помощью известной формулы

*) В квантовой статистике это утверждение, вообще говоря, не справедливо.

§ e~^ax'dx

В результате находим а = (2лтТ)-^3/2, и мы получаем оконча­тельное распределение вероятностей для импульсов в виде

<Ч = 7£^Г ^еХР (- ^Pl+2mT^+Pl) ^dP*^dPy^dP*- (29.3)

(2nmT)^3,i Ч ^2mT

Переходя от импульсов к скоростям (p = mv), можно написать аналогичное распределение для скоростей:

^v = (₂-^)^3/2exp ]dv_xdv_¥dv.. (29,4)

Это—так называемое распределение Максвелла (J. С. Maxwell, 1860 г.). Заметим, что оно снова распадается на произведение трех независимых множителей:

dwo^yf&e-** (29,5)

каждый из которых определяет распределение вероятностей для отдельной компоненты скорости.

Если тело состоит из молекул (например, многоатомный газ), то наряду с распределением Максвелла для отдельных атомов такое же распределение имеет место и для поступательного дви­жения молекул как целых. Действительно, из кинетической энер­гии молекулы можно выделить в виде слагаемого энергию посту­пательного движения, в результате чего искомое распределение выделится в виде выражения (29,4), в котором под m надо будет понимать полную массу молекулы, а под v_x, v_y, v_z—компоненты скорости ее центра инерции. Подчеркнем, что распределение Мак­свелла для поступательного движения молекул может иметь место вне зависимости от характера внутримолекулярного движения атомов (и вращения молекулы), в том числе и в случае, когда последнее должно описываться квантовым образом^г).

Выражение (29,4) написано в декартовых координатах в «про­странстве скоростей». Если от декартовых координат перейти к сферическим, то получится

^dWv= (-^)^3/* е^-mv°^/2T v² siriQ-dedy dv, (29,6)

где v—абсолютная величина скорости, абиф—полярный угол и азимут, определяющие направление скорости. Интегрируя по уг­лам, найдем распределение вероятностей для абсолютной вели­чины скорости

*) Распределение Максвелла справедливо, очевидно, и для так называемого орауновского движения взвешенных в жидкости частиц.

dw_v = 4л (J^j^3/2 е-™'/2г _V2 _dv, (29,7)

Иногда бывает удобно пользоваться цилиндрическими коорди­натами в пространстве скоростей. Тогда

^dw* = (шг) ^ехР [ 1г—

v_rdv_rdv_zdy, (29,8)

где v_z—компонента скорости по оси г, v_r—-перпендикулярная к оси г компонента скорости, а ср—угол, определяющий направ-. ление последней.

Вычислим среднее значение кинетической энергии атома. Со­гласно определению средних значений и пользуясь (29,5), нахо­дим для любой декартовой компоненты скорости ^х)

+ »

^{% = Y^T 1 v%e-™%*4v}_x ^{= ^. (29,9)}

— со

Поэтому среднее значение кинетической энергии атома равно 3772. Можно, следовательно, сказать, что средняя кинетическая энер­гия всех частиц тела в классической статистике всегда равна 3NT/2, где N — полное число частиц.

*) Приведем для справок значения часто встречающихся при применениях распределения Максвелла интегралов вида

/_п=^ е'**' x»dx. о

Подстановка ах² = у дает

где Т (х)—гамма-функция. В частности, если п — 2г, г > 0, то

г (^2г~¹)^!! л/^г~^^г

'ал— 27 + 1 у _а2г+1> где (2г —1)11 = 1-3-5 ... (2г — 1). Если г = 0, то

Если же п = 2г-\-\, то

Тот же интеграл в пределах от — оо до + оо равен в последнем случае нулю, а в первых двух — удвоенному интегралу от 0 до оо.

Задачи

1. Найти среднее значение п-й степени абсолютной величины скорости. Решение. Пользуясь (29,7), находим

о

В частности, если п — четное число (п = 2г), то

<v*r> = ^Y (2г+Щ

Если же n = 2r-\-l_f то

У л \ т )

2. Найти средний квадрат флуктуации скорости.

Решение. Пользуясь результатом задачи 1 для я=1 и я = 2, находим <(Ati)^a>=F²—1!²=— (з—-

m \ я

3. Найти среднюю энергию, средний квадрат энергии и средний квадрат флуктуации кинетической энергии атома.

Решение. Пользуясь результатами задачи ], находим

4. Найти распределение вероятностей для кинетической энергии атома. Решение.

в

2 ~ — dw_z = —7=4 ^Т V~sde.

уИт⁵

5. Найти распределение вероятностей для угловых скоростей вращения молекул.

Решение. По тем же причинам, что и для поступательного движения, можно писать (в классической статистике) распределение вероятностей для вращения каждой молекулы в отдельности. Кинетическая энергия вращения молекулы, рассматриваемой как твердое тело (что возможно в силу малости внутримолекулярных колебаний атомов), равна

е_вр = у (/1^1+^2 +/з"з)== у \7₁~^^r~T₂~^^r~f₃~

где /j, /₂, /₃—главные моменты инерции, Q_lt Q₂, Q₃—проекции угловой скорости на главные оси инерции, a /W₁ = /₁Q₁, M₂ = 1₂Q₂, M₃ = /₃Q_S—ком­поненты момента вращения, играющие роль обобщенных импульсов для ско­ростей fij, Q₂> йа- Нормированное распределение вероятностей для компонент момента есть

dw_fA = (2nT)~ ² (/xVaf ² е~ ^гГ Wi ⁺ Л ⁺ / dM_xdM₂dM₃,

а для угловой скорости

dw_Q = (2nT) ² (/_х/₂/₃)² е ^{iT V} 'dQ₁dQ_idQ₃.

6. Найти средние квадраты абсолютной величины угловой скорости и мо­мента вращения молекулы.

Решение. С помощью найденных распределений получим

<Q*> =Г (±+±+-^1 , <л*2>^Г(/₁ + /₂+/₃).