§ 140. Нематические и холестерические жидкие кристаллы

Ориентационная симметрия нематических жидких кристаллов является одноосной: в каждой точке жидкости существуют всего одно выделенное направление ориентации молекул,— направле­ние оси аксиальной симметрии. Поэтому макроскопическое со­стояние такого тела можно описать заданием в каждой его точке одного единичного вектора п (г), определяющего указанное на­правление; этот вектор называют директором. В полностью равновесном состоянии тело однородно, т. е. n = const. Неодно­родные же распределения п (г) описывают различные деформи­рованные состояния жидкого кристалла.

При макроскопической деформации п(г) медленно меняется вдоль тела (характерные размеры деформации велики по срав­нению с молекулярными размерами). Поэтому производные функ­ции п(г) по координатам являются малыми величинами, тем более высокого порядка малости, чем выше порядок производ­ной. Представив полную свободную энергию деформированного жидкого кристалла (при заданной температуре) в виде интеграла

F„= 5 FdV, разложим плотность свободной энергии F по степеням производных функций п(г) (С. W. Oseen, 1933; F. С. Frank, 1958).

Разложение скалярной величины F может содержать лишь скалярные же комбинации компонент вектора п и его производ­ных. Существует всего две скалярные комбинации, линейные по первым производным: истинный скаляр divn и псевдоскаляр nrotn. Из них первый при интегрировании по объему преобра­зуется в интеграл по поверхности тела и, таким образом, несу­ществен при рассмотрении объемных свойств вещества.

Истинные скаляры, квадратичные по первым производным, можно получить, написав тензор четвертого ранга

дп/с дгц дх_{ дх_т

и образуя из него инварианты путем сворачивания по парам индексов или умножением на компоненты вектора п. При этом надо учесть, что вектор п единичный, и поэтому

4-_n* = 2n_kp- = Q. dxi ^к дх[

Таким путем найдем инварианты Но два последних отличаются друг от друга лишь дивергенцией:

дп; дщ dnit дгц д ! дп_к drij

дх{ дх_к dxi dx/g дх; \ ' дх_к ^Пк дх_к

так что их вклады в полную свободную энергию отличаются лишь не интересующим нас интегралом по поверхности тела (У. L. Ericksen, 1962). Инвариант же¹)

^-^- = (nrotn)² ₊ (divn)»,

так что в качестве независимого можно выбрать (n rot п)^а. Нако­нец, можно построить квадратичный по первым производным псевдоскаляр: (nrotn)div п²).

*) Произведение же ((пу) п) rot п = 0, поскольку из уп² = 0 следует, что (ny) п = — [п rot п].

К величинам того же порядка малости относятся скаляры, линейные по вторым производным; все такие величины, однако, путем интегрирования по частям сводятся к членам, квадратич­ным по первым производным.

Таким образом, мы приходим к следующему выражению для плотности свободной энергии жидкого кристалла:

^{f =} _Fo^{+bnrot n +1 (div n)2 +f (n rot n)2 +1 ((nV) n)2 +}

+ a₁₂(nrotn)divn, (140,1)

где b, a_lt a₂, a₃, a₁₂ — постоянные (функции температуры).

Как уже было указано в предыдущем параграфе, во всех известных жидких кристаллах рассматриваемых категорий направ­ления п и —п эквивалентны; для соблюдения этого требования надо положить а₁₂ = 0. Далее, если среди элементов симметрии кристалла есть плоскости, то должно быть Ь = 0. Действительно, поскольку nrotn — псевдоскаляр, а свободная энергия — истинный скаляр, то псевдоскаляром должен быть и коэффициент Ь. Но среда, имеющая плоскости симметрии, не может характеризо­ваться псевдоскалярными величинами, так как отражение в пло­скости привело бы к равенству 6 = — Ъ. Таким образом, свобод­ная энергия нематического жидкого кристалла:

F = F₀ +1 (div n)² + ^af (n rot n)² + & ((nV) n)². (140,2)

Все три коэффициента a_lt a₂, a₃ должны быть положительными. Тогда равновесному состоянию отвечает n = const.

Если же жидкий кристалл не имеет плоскостей симметрии, то ЬФО¹). Перепишем тогда (140,1) (с а₁₂ = 0) в виде

F = F₀ + Y (div п)² + f (n rot n + _?0)² + f ((nV) n)², (140,3)

где q„ = b/a₂ (а постоянная—b²/2a₂ включена в F_a). Равновес­ному состоянию такого вещества отвечает распределение направ­лений директора, для которого

divn = 0, (nV)n = 0, nrotn = — q₀.

Эти уравнения имеют решение

п_х = 0, n,, = cos <7_e#, n₂ = smq_ax. (140,4)

^х) Такой симметрией во всяком случае будет обладать жидкий кристалл, состоящий из одного стереоизомера вещества с зеркально асимметричными мо­лекулами (именно таковы все известные холестерические жидкие кристаллы). Кристаллы, состоящие из двух различных стереоизомеров одного и того же вещества, отличаются знаком постоянной Ь.

Эту структуру (отвечающую холестерическим жидким кри­сталлам) можно представить себе как результат равномерного закручивания вокруг оси х нематической среды, первоначально ориентированной своими n = const в одном направлении в пло­скости у, г. Ориентационная симметрия холестерического кри­сталла оказывается периодической вдоль одного направления (ось х) в пространстве (так что корреляционная функция р₁₂ = =р₁₂ (х, г₁₂)). Вектор п возвращается к прежнему значению через каждый интервал длины 2n/q₀ вдоль оси х; но поскольку направ­ления пи —п физически эквивалентны, истинный период по­вторяемости структуры равен n/q₀. Об описанной таким образом структуре обычно говорят как о геликоидальной.

Разумеется, изложенная теория справедлива, лишь если период геликоидальной структуры велик по сравнению с молекулярными размерами. Это условие фактически выполняется в холестери-ческих жидких кристаллах (период n/q₀~ 10^—5 см).