§ 138. Корреляционная функция в двумерных системах

Выражение (137,11) определяет средний квадрат флуктуа­ционного смещения в каждой заданной точке двумерной кристал­лической системы. Более глубокое понимание свойств таких сис­тем может быть достигнуто путем рассмотрения функции кор­реляции между флуктуациями в различных точках системы.

Прежде всего заметим, что при Т = 0 двумерная решетка вполне могла бы существовать при любых размерах: расходи­мость интеграла (137,11) связана именно с тепловыми (ТфО) флуктуациями; пусть р₀ (г)—функция плотности этой системы при 7" = О²). Определим теперь корреляционную функцию флук­туации плотности при конечных, но достаточно низких темпе­ратурах (малых по сравнению с дебаевской). В этих условиях в решетке возбуждены лишь длинноволновые колебания; другими словами, изменение функции плотности определяется в основном длинноволновыми флуктуациями.

Пусть атомы в точках г решетки испытывают флуктуацион-ные смещения и (г). Если функция и (г) мало меняется на рас­стояниях порядка постоянной решетки (что соответствует инте­ресующим нас флуктуациям с малыми волновыми векторами), то изменение плотности в каждой точке пространства можно рас­сматривать как результат просто сдвига решетки на величину, равную местному значению вектора смещения. Другими словами, флуктуирующая плотность запишется как p(r) = p₀[r — и (г)], а корреляция между ее флуктуациями в различных точках г, и г₂ определяется средним значением

<Р (О P (г,)> = <р„ [г_х —u (г j\ р₀ [г,—и (г,)]>. (138,1)

Разложим периодическую функцию р₀ (г) в ряд Фурье (ср. (133,2)):

²) То же самое относится к трехмерным телам с одномерной периодич­ностью, для которых интеграл (137,9) расходится логарифмически.

²) Здесь и ниже в этом параграфе г=(х, у) — двумерный радиус-вектор в плоскости системы.

р„(г) = р+ 2 Рье'^Ьг , (138,2)

где b—векторы обратной решетки (плоской); из суммы выделен постоянный член р. При подстановке этих рядов в (138,1) и усред­нении члены с произведениями рьрь- с Ь' Ф—Ь, как мы увидим ниже, выпадают. Произведение же с Ь' = — b дает в (138,1) вклад

| р„|² ехр [i b (Г!—r₂)] <ехр [-i b(и_г—и,)]> (138,3)

(для краткости пишем u(r₁) = u₁, u(r₂) = u₂).

Распределение вероятностей для флуктуации вектора смеще­ния дается формулой (137,2) в которой AF„ — квадратичный функционал от u(r). Если рассматривать значения и (г) в раз­личных (дискретных) точках пространства как различные флук­туирующие величины х_а(а=\, 2, ...), то это значит, что рас­пределение вероятностей для них—гауссово. Тогда можно вос­пользоваться для усреднения в (138,3) формулой

<ехр (а_ах_а)> = ехр (i-a._aa_b <х_ах_ь>^ (см. задачу к § 111), что дает

<ехр[—f Miii—и,)]>=ехр (— -g-frAfci). (138,4)

где

1и (г) = <(",•! — и„) («,!—««)> = 2 (щи,) — <и_ии_п> — <u_i2u_n->

(r = Ti—r_s). Остается подставить сюда и, и и, в виде разложе­ний (137,1). Заметив при этом, что средние значения (и^и^У равны нулю при к'Ф—к, а при к' = — к даются выраже­ниями (137,11), получим

%и (г) = Т J 2 (1 - cos кг) . (138,5)

*) Проследив за происхождением этого множителя, заметим, что он возник в результате равенства b' = —b в (138,3). Легко убедиться, что при Ь' j=— b сокращений в подынтегральном выражении не происходит и интеграл расхо­дится. Поскольку эти интегралы входят в показатель экспоненты (ср. (138,4)), то их расходимость приводит к обращению в нуль соответствующих вкладов в корреляционную функцию.

Этот интеграл сходится при малых k, поскольку множитель (1 — coskr)cofe^a при к —«-0¹). Go стороны же больших значений & интеграл логарифмически расходится. Эта расходимость связана в действительности лишь с неприменимостью использованных приближений при больших k: при k_max,Ack_max ~ Т (с—ско­рость звука; см. § ПО) флуктуации перестают быть классичес­кими (при низких температурах это условие нарушается раньше, чем условие k<^. l/а, где а — постоянная решетки). Замечая также,

что при больших k член с быстро осциллирующим множителем cos кг в подынтегральном выражении может быть опущен, на­ходим

Х«(г)=1-^|1п(А_ш„г) (138,6)

(черта над A_it означает усреднение по направлениям вектора к в плоскости).

Искомую корреляционную функцию мы получим теперь, под­ставив (138,6) в (138,3—4) и просуммировав по Ь; асимптотиче­ский закон убывания этой функции с расстоянием г опреде­ляется наименее быстро убывающим членом суммы:

<p(r₁)p(r₂)>—p²c^-l-cos Ьг, «ь=2^Д«, (138,7)

где в качестве b надо выбрать тот из основных периодов об­ратной решетки, для которого величина аь имеет наименьшее значение.

Таким образом, в двумерной решетке корреляционная функ­ция хотя и стремится к нулю при г —+ оо (в противоположность трехмерной решетке, где она стремится к конечному пределу), но лишь по степенному закону, причем тем более медленному, чем ниже температура¹).

Аналогичные, хотя и несколько более громоздкие вычисления приводят к закону такого же типа и для корреляционной функ­ции в трехмерной системе с функцией плотности р(х).

Напомним для сравнения, что в обычной жидкости корреля­ционная функция убывает по гораздо более быстрому, экспонен­циальному, закону (см. § 116).