§ 133. Обратная решетка

Все физические величины, характеризующие свойства кристал­лической решетки, обладают такой же периодичностью, как и сама решетка. Таковы, например, плотность заряда, создаваемая электронами атомов в решетке, вероятность нахождения атомов в том или ином месте решетки и т. п. Пусть функция U (г) пред­ставляет собой какую-либо из таких величин. Ее периодичность означает, что

L/(r-T-rt₁a₁-f-rt₂a₂ + rt₃a₃) = L/(r) (133,1)

при любых целых п_г, /г₂, п₃ (а₁₍ а₂, а₃—основные периоды решетки).

Разложим периодическую функцию U (г) в тройной ряд Фурье. Это разложение можно написать в виде

(У = 2(Уье'^Ьг, (133,2)

ь

где суммирование происходит по всем возможным значениям вектора Ь. Эти возможные значения b определяются из требова­ния, чтобы функция U, представленная в виде ряда (133,2), удовлетворяла условию периодичности (133,1). Это значит, что все экспоненциальные множители не должны меняться при за­мене г на r + а, где а—любой из периодов решетки. Для этого необходимо, чтобы скалярное произведение ab было всегда целым кратным от 2л. Выбирая в качестве а последовательно основные периоды а₁₍ а₂, а₃, мы должны, следовательно, иметь

а₁Ь = 2яр₁, а₂Ь = 2яр₂, а₃Ь = 2яр₃,

где p_lt р₂, р₃ — целые положительные или отрицательные числа (включая нуль). Решение этих трех уравнений имеет вид

b = p₁b₁ + p₂b₂ + p₃b₃, (133,3)

где векторы Ь,- определяются через а,- посредством bi = ^[a₂a₃], b^j^a,], b₃ = ^-[a₁a₂], и = а₁[а₂а₃]. (133,4)

Таким образом, мы определили возможные значения вектора Ь. Суммирование в (133,2) распространяется по всем целым значе­ниям p_lt р₂, р₃.

Геометрически произведение t) = a₁[a₂a₃] представляет собой объем параллелепипеда, построенного на векторах а_г, а₂, а₃, т. е. объем элементарной ячейки; произведения же [а^,] и т. д. изо­бражают площади трех граней этой ячейки. Векторы Ь,- имеют, следовательно, размерность обратной длины, а по величине равны умноженным на 2я обратным высотам параллелепипеда, пост­роенного на векторах а_х, а₂, а₃.

Из (133,4) видно, что между Ь,-и а,-имеют место соотношения

( 0, если i Ф1г,

2я, если i = k. ⁽¹³³'⁵⁾

Это значит, что вектор Ъ_г перпендикулярен к векторам а₂, а₃ и аналогично для b₂, Ь₃.

Определив векторы Ь,-, мы можем формально построить ре­шетку с основными периодами b_x, b₂, Ь₃. Построенная таким образом решетка носит название обратной, а векторы b_lf b₂, b₃ называются периодами (основными) обратной решетки¹).

Вычислим объем элементарной ячейки обратной решетки. Он равен

v' = bj [Ь₂Ь₃]. Подставляя сюда выражения (133,4), находим

^v' = t^a2^as] П> A] [ал]] = ([a₂a_s] а₄) ([a₃a_t] а₂),

или окончательно:

(133,6)

Очевидно, что ячейка обратной решетки триклинной решетки Бравэ тоже является произвольным параллелепипедом. Анало­гично обратные решетки простых решеток Бравэ других систем тоже являются простыми решетками той же системы; например, обратная решетка простой кубической решетки Бравэ тоже имеет простую кубическую ячейку. Легко, далее, убедиться при по­мощи простого построения в том, что обратная решетка гране-центрированных решеток Бравэ (ромбической, тетрагональной и кубической) представляет собой объемноцентрированную решетку той же системы; при этом объем параллелепипеда Бравэ обрат­ной решетки v'₀ = 8(2я)³/У/, где v_f—объем параллелепипеда Бравэ

^х) Определение (133,4), принятое в современной физической литературе, отличается множителями 2п от определения, принятого в чистой кристалло­графии.

прямой решетки. Обратно, прямой объемноцентрированной ре­шетке отвечает гранецентрированная обратная решетка, причем снова v) = (2n)³8/v_v. Наконец, для прямой решетки сцентрирован­ными основаниями обратная решетка тоже имеет ячейки с цен­трированными основаниями, причем v'_b=-(2я)³4/у_ь.

Как известно, уравнение вида br = const, где b — постоянный вектор, описывает плоскость, перпендикулярную к вектору b и находящуюся на расстоянии const/cj от начала координат. Вы­берем начало координат в каком-нибудь из узлов решетки Бравэ, и пусть Ь = р₁Ь₁ + Р2Ь₂+РзЬз есть какой-нибудь вектор обратной решетки (р_1У р_г, р₃—целые числа). Написав также г в виде а = = «^ + «2*2 + 13*31 получаем уравнение плоскости вида

Ъ&/2п = п₁р₁ + п₂р₂ + п₃р_а = т, (133,7)

где т—заданная постоянная. Для того чтобы это уравнение представляло собой плоскость, заполненную бесконечным множе­ством узлов решетки Бравэ (о таких плоскостях говорят, как о кристаллических), надо, чтобы оно удовлетворялось набором целых чисел п_1г п₂, п₃. Для этого, очевидно, постоянная т тоже должна быть целой. При заданных р_и р₂, р₃ и пробегающей раз­личные целые значения постоянной т уравнение (133,7) опреде­ляет, следовательно, бесчисленное множество кристаллических плоскостей, которые все параллельны друг другу. Каждому век­тору обратной решетки соответствует определенное указанным способом семейство параллельных кристаллических плоскостей.

Числа p_lt р₂, р₃ в (133,7) можно представлять себе всегда взаимно простыми, т. е. не имеющими общего делителя, за исклю­чением единицы. Если такой делитель имелся бы, то можно было бы разделить на него обе стороны уравнения, причем получи­лось бы уравнение того же вида. Числа р_х, р₂, р₃ называются индексами Миллера данного семейства кристаллических плоско­стей и обозначаются как (р_гр₂р₃).

Плоскость (133,7) пересекает оси координат (выбранные вдоль основных периодов а_1; а,, а₃) в точках majp,, та₂/р₂, ma₃lp_t. Отношение длин отрезков (измеренных соответственно в едини­цах а_г, а₂, а₃), отсекаемых плоскостью от осей координат, есть

—:—:—-, т. е. эти длины относятся обратно пропорционально

Pi Рг Ps

индексам Миллера. Так, индексы Миллера плоскостей, парал­лельных координатным плоскостям (т. е. отсекающих от осей отрезки, относящиеся как оо:оо:1), равны (100), (010), (001) — соответственно для трех координатных плоскостей. Плоскости, параллельные диагональной плоскости основного параллелепипеда решетки, имеют индексы (111) и т. д.

Легко определить расстояние между двумя последовательными плоскостями одного и того же семейства. Расстояние плоскости

(133,7) до начала координат есть 2пт/Ь, где Ь есть длина дан­ного вектора обратной решетки. Для следующей плоскости это расстояние есть 2л (m-f-1)/&. Расстояние же d между этими дву­мя плоскостями есть

(133,8)

Отметим полезную в применениях формулу

2е'^Ьг=я2б(г — а), (133,9)

ь а

где суммирования справа и слева производятся соответственно по всем векторам прямой и обратной решеток. Сумма в правой стороне равенства—функция г, периодическая в прямой решетке; выражение слева—ее разложение в ряд Фурье¹). Аналогичная формула

2e'^ka = u'|]6(k—b) (133,10)

прямо следует из (133,9) ввиду взаимного характера связи между прямой и обратной решетками.