§ 126. Операторное выражение обобщенной восприимчивости

Флуктуационно-диссипационную теорему можно рассматри­вать также и в обратном аспекте, прочтя равенство (124,9) справа налево и записав (х²)_т в явном виде как фурье-компо-ненту корреляционной функции:

. °>

^{a"(co) = ^-th-^- J eiat<x(0)x(t) + x(t)x(0)>dt. (126,1)}

— so

В таком виде эта формула дает принципиальную возможность вычисления функции а" (со) по микроскопическим свойствам системы. Недостаток ее состоит, однако, в том, что ею прямо определяется лишь мнимая часть, а не вся функция а (со). Можно получить аналогичную формулу, лишенную этого недостатка. Для этого произведем прямое квантовомеханическое вычисление среднего значения х в возмущенной системе (с оператором воз­мущения (124,5))!).

Пусть ¥^^0> — волновые функции невозмущенной системы. Сле­дуя общему методу (см. III, § 40), ищем волновые функции возмущенной системы в первом приближении в виде

^_п = П⁰⁾+2а_йЛ', (126,2)

т

где коэффициенты а_тп удовлетворяют уравнениям

^х) Такой путь прямее, чем использование соотношений Крамерса — Кронига для определения а' (со) (а затем и всей а (со)) по а" (со).

При решении этого уравнения следует считать, что возмущение «адиабатически» включается к моменту времени t от времени t — — оо (ср. III, § 43); это значит, что в множителях е^±ш надо заменить со—► соТг'О (где символ ДО означает i8 при 6—► + ()). Тогда

1 , to t

^а"п-₂%^{Хтпе т}" L">*»-«a-»0"^rffl-» + »-'°.

(126,3)

С помощью полученной таким образом функции W_n вычисляем среднее значение величины х как соответствующий диагональный матричный элемент оператора х. В том же приближении имеем

т

= ~k[со^-со-Ю + co^+co + io] /ое-'^+к.с.

т

Сравнив этот результат с определением (123,9), найдем,

Вещественная и мнимая части в этом выражении разделя­ются с помощью формулы

tho* (¹²⁶'⁵>

(см. III, (43,10)). Для а"(со) мы вернемся, разумеется, к преж­нему результату (124,8).

Легко видеть, что выражение (126,4) представляет собой фурье-образ функции

a(t)=\ * ^л"'^л^' "vi(126,6)

I о.

( i-<x(f)£(0)—х(0) *(*)>, *>0,

t <0

(как и в случае корреляционной функции, это среднее значение зависит, конечно, только от разности моментов времени, в ко­торые берутся два оператора x(t)). Действительно, вычисляя функцию (126,6) как диагональный матричный элемент по отно­шению к /г-му стационарному состоянию системы (невозмущенной), имеем при t > 0

«(0 = J £ {Хпт (0 *тп (0)~Х_пт (0) Х_тп (*)] =

т где переход к не зависящим от времени матричным элементам произведен по обычному правилу:

x_nm(t) = x_nme «» .

Поскольку функция а (г) отлична от нуля только при t > 0, ее фурье-образ вычисляется по формуле¹)

ОС

^dt = ^ (126,7)

о

и совпадает с (126,4).

Таким образом, приходим окончательно к следующему ре­зультату:

со

а (со) = j (V^е" <x{t)x(0) —x(0)x(t)>dt (126,8) о

(R. Kubo, 1956). Будучи справедливой при усреднении по вся­кому заданному стационарному состоянию системы, эта формула остается тем самым без изменений и после усреднения по рас­пределению Гиббса.

Для обобщенных восприимчивостей щ_к (со), определяющих отклик системы на возмущение, затрагивающее несколько вели­чин Х[, аналогичная формула гласит:

со

«/* И = j \ е^ш <х, (t) х_к (0) -х_к (0) х,. (/)> dt. (126,9)

Задача

Определить асимптотическое поведение ос (со) при со —>■ оо (полагая, что а(оо)=0).

Решение. При со—> оо в (126,8) существенны малые значения t. Пола­гая х (/) я х (0) -4- tx (0), находим

со

а (со) к -j <хх—хх> J te^imt dt о

(одинаковый аргумент t = 0 в операторах опускаем). Интеграл вычисляется дифференцированием (126,7) по со и дает

а(со)я—_ТЦ- <хх — хх>; (1)

²) Интеграл вычисляется путем наклона пути интегрирования (в плоскости комплексного t) вверх или вниз в зависимости от знака со, т. е. заменой t—► t (1 'б sign со), после чего полагаем б—►+().

Лео²

эта формула справедлива, если стоящее в ней среднее значение коммутатора отлично от нуля.

Будучи четной функцией со, выражение (1) вещественно, так что является асимптотикой функции а' (со). С другой стороны, из (123,15) имеем при ш—► оо

о

(здесь учтена нечетность функции а* (£)). Сравнив это выражение с (1), найдем следующее «правило сумм» для а." (<а):

о