§ 125. Флуктуационно-диссипационная теорема для нескольких величин

ФДТ легко может быть обобщена на случай, когда рассма­триваются одновременно несколько флуктуирующих величин x_t.

Обобщенные восприимчивости определяются в таком случае по отклику системы на возмущение вида

V = -Xtft{t) (125,1)

и представляют собой коэффициенты в линейной связи между фурье-компонентами средних значений х,- (t) и обобщенных

°^{ИЛ М}°^: x_to = a_tt(<o)/_to. (125,2)

Изменение энергии системы выражается через внешнее возмуще­ние согласно соотношению

£ = (125,3)

Эта формула, как и (123,10), обычно служит в конкретных при­менениях теории для установления фактического соответствия между величинами х₍ и

Спектральные плотности флуктуации вводятся по средним значениям симметризованных операторных произведений:

Y<XiJc_kli),+х_к1а.х_ш> = 2л (х,-л*)_т б (со + со'), (125,4)

обобщающих выражение (122,8). Вычисление этого среднего как диагонального (пп) матричного элемента, аналогичное выводу (124,3), приводит к результату

пт (X/i)mn

б (со + со,_ш) + {X_k)_nm {Xi)_mn б (со + со,_лп)}.

m

(125,5)

Пусть на систему действует периодическое возмущение, в ко- тором .

//(0 = у(/.|-е-'^и' + /Ье"»0- (125,6)

Отклик системы на это возмущение:

xi (0 = у Ы И и#'^ш + «л И Я**"⁰']- (125,7)

Подставив (125,6—7) в (125,3) и усреднив по периоду возму­щения, получим вместо (123,11) следующее выражение для дис­сипации энергии:

Q=^(a?_ft-a_w)/„/;*. (125,8)

С другой стороны, вычисление, аналогичное выводу (124,7), дает

т

а сравнив с (125,8), получим a*_fe—a_w =

= —у £ [(**)*„ (**)«« б (со + C0„J — (Xi)_nm (х_к)_тп б (со + ш_яя)]. т

(125,9)

Наконец усреднив (125,5) и (125,9) по распределению Гиббса, как это было сделано в предыдущем параграфе, найдем следую­щую формулу, обобщающую флуктуационно-диссипационную тео­рему (124,9):

= у ik (ali—^ik) cth . (125,10)

Аналогично формулам (124,11—12) можно выразить и формулу (125,10) через фиктивные случайные силы, действие которых дало бы результат, эквивалентный самопроизвольным флуктуа­циям величин х_{. Для этого пишем

Xie>~^alkfk<ui fi(0 = ^aTk^xk(0 (125,11)

и далее

Подставив сюда (125,10), получим

(Ш_в = 4 Ы~^а*П ^cth 2Т • 025,12)

Полученные результаты позволяют сделать определенные заключения о свойствах симметрии обобщенных восприимчиво-стей а,-_А(со) (Я. В. Callen, М. L. Barrash, J. L. Jackson, R. F. Green, 1952). Предположим сначала, что величины x_it x_k инвариантны относительно обращения времени; тогда их опера­торы x_h x_k вещественны. Кроме того, будем считать, что тело не обладает магнитной структурой (см. ниже примечание, стр. 436) и не находится во внешнем магнитном поле; тогда вещественны и волновые функции его стационарных состояний¹). Поэтому будут вещественны также и матричные элементы величин х, а учитывая эрмитовость матриц х_пт, имеем: х_пт = х*_тп = х_тп. Тогда правая, а потому и левая стороны равенства (125,9) сим­метричны по индексам i, k. Таким образом, а.%—«fef = a«—а# или a_ik + a*_k = а_ы + a*_ki, т. е. мы приходим к выводу о симме­тричности вещественной части a_ik.

^]) Точные уровни энергии системы взаимодействующих частиц могут быть вырождены только по направлениям полного момента системы. Этот источник вырождения можно исключить, предполагая тело заключенным в сосуд с не­подвижными стенками. После этого уровни энергии тела будут невырожден­ными, а потому соответствующие им точные волновые функции могут быть выбраны вещественными.

Но вещественная (a'_ik) и мнимая (a_ik) части каждой из вели­чин a_ik связаны друг с другом линейными интегральными соот­ношениями—формулами Крамерса — Кронига. Поэтому из сим­метричности <x'_lk следует симметричность также и a"_ik, а потому

и целиком a_ik. Таким образом, приходим к окончательному ре­зультату:

«/*(<») = «« N- (125,13)

Вид этих соотношений несколько меняется, если тело нахо­дится во внешнем магнитном поле Н. Волновые функции системы в магнитном поле не вещественны, а обладают свойством г))*(Н) = т])(—Н). Соответственно для матричных элементов вели­чин х имеем

Х_Пт(Щ = Х_тп (—Н),

и выражение в правой части (125,9) не меняется при переста­новке индексов i, k лишь при условии одновременного изменения знака Н. Поэтому мы приходим к соотношению

a'_k (H)-a_w (Н) = a*_ki (- H)-a_rt (- Н).

Еще одно соотношение дает формула Крамерса—Кронига (123,14), в силу которой имеет место связь вида а_ы = Ц (а_к[), где J — ве­щественный линейный оператор. Сложив это равенство с эрми-тово-сопряженным равенством а'_к =— U (а*_1к), получим

^{a*fe + <хщ = — iJ (a«—a<«)}

(все a_ik берутся здесь, разумеется, при одном и том же значе­нии Н). Отсюда видно, что если разность a*_ik—a_ki обладает каким-либо свойством симметрии, то тем же свойством обладает и сумма a*4-f-a«, а потому и сами величины a_ik. Таким образом,

a_/ft (со; Н) = а«(<о; -Н). (125,14)

Пусть, наконец, среди величин х есть такие, которые меняют знак при обращении времени. Оператор такой величины чисто мнимый, и потому х_пт = х*_тп = — х_тп. Если обе величины x_h x_k относятся к такому роду, то весь вывод и результат (125,13) остаются неизменными. Если же одна из двух величин меняет знак при обращении времени, то при перестановке индексов i, k правая сторона равенства (125,9) меняет знак. Соответственно вместо (125,13) получим

«« И = — ^аи («О. (125,15)

или для тела в магнитном поле

а,* (со; Н) = —a_w(co; — Н). (125,16)

Все эти соотношения можно, разумеется, получить и из фор­мулы (125,10) как следствие временной симметрии флуктуации. Так, если две величины x_t и х_к ведут себя одинаково по отно­шению к обращению времени, то в силу указанной симметрии величина (х,-**)© вещественна и симметрична по индексам i, k (см. § 122). Тогда и правая часть формулы (125,10) должна быть симметрична по тем же индексам, и мы снова приходим к ре­зультату (125,13). Такой вывод свойств симметрии обобщенных восприимчивостей аналогичен выводу принципа симметрии кине­тических коэффициентов в § 120; мы увидим ниже, что формулы (125,13—16) можно рассматривать как обобщение этого принципа.

Связь обобщенных восприимчивостей с кинетическими коэффи­циентами выясняется путем сопоставлений ФТД с теорией ква­зистационарных флуктуации нескольких величин. Выпишем соответствующие формулы, не повторяя заново всех рассуждений, подобных произведенным в конце предыдущего параграфа для случая одной величины.

Статические значения восприимчивостей связаны с коэффи­циентами разложения энтропии p_rt равенствами

Поэтому смещение состояния равновесия при воздействии на систему статических сил f_k определяется значениями

*/ = <*« (0) fk = UfkIT, Xi = = ЦТ.

Макроскопические уравнения движения неравновесной системы, находящейся под действием квазистатических сил f_k(t), можно представить в виде

= (125,17)

отличающемся от (120,5) заменой X_k на Х_к—f_k/T.

Подставивв (125,17) x_t(t) и /,.(/) ввиде периодических функций (125,6—7) (причем Х_к записываются в виде линейных комбина­ций Х_к = ^_к[х₁), получим

i-®^aimfom = У!'*Р*/^а/га/оя» "г"~f Т/да/оя»

откуда ввиду произвольности f_9m следуют соотношения между коэффициентами

— «Юв/я +4ii$kl^alm = jr Vim,

или

^* = -r(P«-W)-¹- (125,18)

Этим и устанавливается искомая связь между a_ik и кинетиче­скими коэффициентами y_ik.

Величины Р,_А по определению симметричны по своим индексам (как производные —d^aS/dx₍dx₄). Поэтому из симметрии a_ik

следует такая же симметрия y_ik, т. е. обычный принцип симмет­рии кинетических коэффициентов.

Рассматривая f_k в уравнениях (125,17) как случайные силы, получим для них (путем подстановки (125,18) в (125,12))

(///*)«. = i^(YS¹+T«^l)cth^.

Если же определить случайные силы y_t так, как это сделано в (122,20), то У1 = Уш!к1Т; для их спектрального распределения имеем

to)e = (Yi* + Y*/) 2f ^cth 2? • 025,19)

Это выражение отличается от (122,21) тем же множителем (124,19), обращающимся в единицу в классическом пределе.