§ 124. Флуктуационно-диссипационная теорема

Приступим теперь к вычислениям, имеющим целью связать флуктуации величины х с введенной в предыдущем параграфе обобщенной восприимчивостью.

Пусть тело, к которому относится величина х, находится в некотором определенном (/г-м) стационарном состоянии. Сред­нее значение (122,8) вычисляется как соответствующий диаго­нальный матричный элемент оператора

~2 (^х<л^х(£>' ~Т~ ^xa>'^xtts)nn ~ ~2 ]S [(*е»)тв (^Х(Л')тп ~Ь (^ха')пт (^х<л)тп\> (124,1)

т

где суммирование распространяется по всему спектру уровней энергии (ввиду комплексности оператора х_а два члена в квадрат­ных скобках не совпадают друг с другом).

Зависимость оператора х (t) от времени означает, что вычис­ление его матричных элементов должно производиться с помощью зависящих от времени волновых функций. Поэтому имеем

со

^{(*»)».= J х}_пи^{е'(а»»+ш)(^ = 2я^}_т^б(со_ли ^{+ о)), (124,2)}

— со

где х_пт—обычный, не зависящий от времени матричный элемент оператора х, выраженного через координаты частиц тела, а (а_пт = (Е_п—Е_т)1%—частота перехода между состояниями пат. Таким образом,

~2 {^х<л^ха>' ~\~^х<л'^ха)пп ~

= 2я² £ | х_пт |» [б (co„_m + со) б (со_тп + «,') + б (со_п)В + со') б (со_и„ + со)]

т

(здесь учтено, что х_пт — х*_тп ввиду вещественности х). Произве­дения б-функций в квадратных скобках можно, очевидно, пере­писать в виде

б (со_пи + со) б (со + со') + б (со_ип + со) б (со + со').

Сравнивая после этого с (122,8), получим следующую формулу: (*²L = я 2 | х_пт |³ [S (со + со„_т) + 6 (со + со_и„)]. (124,3)

т

(124,4)

В связи с формой записи этого выражения сделаем следующее замечание. Хотя уровни энергии макроскопического тела, строго говоря, дискретны, но они расположены так густо, что факти­чески образуют непрерывный спектр. Формулу (124,3) можно написать без 6-функций, если усреднить ее по малым (но содер­жащим все же много уровней) интервалам частот. Если Т(Е) — число уровней энергии, меньших Е, то

(х% = л&К_и|*^{Г dT} ' ^dr

dE_m dE'„

где E_m^E_n + fto), Е'_т = Е_п—Аю.

Предположим теперь, что на тело действует периодическое (с частотой со) возмущение, описывающееся оператором

1? = _ fx = -1 (f_ae-'°* + Г<Р^Ш) х. (124,5)

Под влиянием возмущения система совершает переходы, причем вероятность перехода п—*т (в единицу времени) дается фор­мулой

а»-„ = ^|^„1М в («» + «>-»)+ «(«> + «>»-)}■ (124,6)

(см. III, § 42). Два члена в этой формуле возникают соответст­венно из двух членов в (124,5). При каждом переходе система поглощает (или отдает) квант 7гсо. Сумма

С0„

дает среднюю энергию, поглощаемую телом (в единицу времени); источником этой энергии является внешнее возмущение, а погло­щаясь телом, она диссипируется в нем. Подставив (124,6), по­лучим

Q = 4-1 /о |² 21 х_пт |^г {б (со + co_m„) + б (со + С0„_га)} со_ип 271 _т

или, учитывая, что б-функции отличны от нуля лишь при равном нулю аргументе,

^{Q =} _lk ^{Ы 1 /о |2} _{21 *«« I}² _<^{6 to} _{+ *"«-) -} ⁶ _{(со + «„„)}. (124,7)}

т

Сравнивая (124,7) с (123,11), находим

а" И = т- £ I х_пт |М б (со + а>„ J - б (со + со_тп)}. (124,8)

Вычисленные таким образом величины (х^!)_миа" связаны между собой простым соотношением. Оно выявляется, однако, лишь после того, как эти величины будут выражены через темпера­туру тела. Для этого производим усреднение с помощью распре­деления Гиббса (ср. примечание на стр. 392). Для (х²)_а имеем

(%²)_ю=я 2 Рп\х_пт\² {о((х) + а_пт) + 8(ш + «>_тп)\,

я, т

где для краткости обозначено

р„ = ехр (^f^) ,

Е„—уровни энергии тела, F — его свободная энергия. Поскольку суммирование производится теперь по обоим индексам тип, то можно менять их пбозначение. Раскрыв фигурные скобки и заменив во втором члене тип друг на друга, получим

(г% = я 2 (Ря + р«) | х_пт |² б (со + со„_и) =

т, п

= я£ р_л(1+^^ю-/^Г)|^_т|^г6(со + со_ип)

т, п

или, ввиду наличия в суммируемом выражении 6-функции, (х»)_ш = я(1+е-*«>/Г) 2 р„|х_пи|²б(со + со_пт).

т, п

Совершенно аналогичным путем получим

а" = -г (1 - е-**'⁷-) £ Р„ | х_пт |² б (со + со_пи). Сравнивая друг с другом эти два выражения, найдем

<*-)_в = *а'с«ф^2W'{l+-^i—} . (124,9)

Полный же средний квадрат флуктуирующей величины дается интегралом

<х²> = |- ja"(co)cth^<Jco. (124,10)

о

Эти важные формулы составляют содержание флуктуационно-диссипаиионной теоремы (коротко ФДТ), установленной Калленом и Вельтоном (Н. В. Callen, Т. A. Welton, 1951). Они связывают флуктуации физических величин с диссипативными свойствами системы при внешнем воздействии на нее. Обратим внимание на то, что множитель в фигурных скобках в (124,9) представляет собой среднюю энергию (в единицах &со) осциллятора при тем­пературе Т; член 1/2 отвечает нулевым колебаниям.

Подобно тому, как это было сделано в конце § 118, получен­ные результаты можно представить в другом виде, рассматривая формальным образом самопроизвольные флуктуации величины х как результат воздействия некоторых фиктивных случайных сил. При этом удобно записывать формулы, вводя фурье-компоненты ^ха> ^и fa ^так> ^как если бы х было классической величиной. Связь между ними записывается в виде

х_и = а(со)/_и, (124,11)

подобном (123,3), после чего для средних квадратичных флук­туации пишем

<ХфХ_а- > = а (со) а (со') </<₀/v >,

или, переходя к спектральным плотностям флуктуации, согласно определению (122,4):

(х% = а (со) а (- со) (/% = | а (со) |² (/%.

Для спектральной плотности среднего квадрата случайной силы имеем, следовательно, из (124,9)

Такая трактовка может представить определенные преимущества в конкретных применениях теории.

Вывод ФДТ основан на рассмотрении , внешнего воздействия (124,5) как малого возмущения; с малостью воздействия связана также и линейность отклика системы—линейность связи между х и силой /. Подчеркнем, однако, что это обстоятельство отнюдь не приводит к появлению каких-либо физических ограничений на допустимые значения средней флуктуации самой величины х. Малость воздействия всегда может быть обеспечена сколь угодной малостью вспомогательной величины /, не фигурирующей в окон­чательной формулировке ФДТ. Таким образом, для рассматри­ваемой категории физических величин х свойства их флуктуации (в термодинамически равновесной системе) полностью определя­ются свойствами отклика системы на сколь угодно слабое внешнее воздействие.

При температурах Т^>7ш имеем cth(&co/27')« 277&со, и фор­мула (124,9) принимает вид

(х²)_ш=^а"(со). (124,13)

Из нее выпадает квантовая постоянная в соответствии с тем, что в этих условиях флуктуации классичны.

Если неравенство T^>Jm справедливо при всех существенных частотах (частоты, для которых а" (со) существенно отлично от нуля), то к классическому пределу можно перейти и в интег­ральной формуле (124,10):

=

я J со о

Но согласно (123,17) этот интеграл выражается через статическое значение а'(0) = а(0), так что¹).

<х²> = Га(0). (124,14)

Остановимся, наконец, на связи изложенных результатов с теорией квазистационарных флуктуации (§ 118).

Прежде всего заметим, что если величина х такова, что ее флуктуации малы в подразумевавшемся в§ ПО смысле (т. е. допу­стимо разложение энтропии (110,3)), то средний квадрат <х²> = 1/8. Сравнение с (124,14) показывает, что для такой величины

a(0) = pL. (124,15)

Пусть далее х относится к категории величин, флуктуации которых квазистационарны. Предположим, что тело подвергается воздействию статической силы f. Это приводит к смещению со­стояния равновесия, в котором х уже отлично от нуля и равно х = а(0) / = //6Г. Макроскопическое уравнение, описывающее релаксацию далекой от равновесия системы, будет тогда иметь вид

* = -А.(*-^), (124,16)

отличающийся от уравнения х — — кх (118,5) тем, что скорость х обращается в нуль не при х = 0, а при x = f/$T.

^х) Это выражение можно получить также и прямо из распределения Гиббса в классической статистике. Пусть x = x(q, р)— некоторая классическая величина. Вводя в энергию систему член—xf (с постоянным f), для среднего значения х будем иметь

7=lx_{q,_p)ez_P{^F-^E«'f}_dqdp.

По определению a(0)=dx/df при /—»-0; дифференцируя написанное выраже­ние, находим

1 f» (р f\ 1

^{а (0) = ^ \ х* ехР (—f~ U<ldP = y <*2>}

(свободная энергия F тоже зависит от /, но член с производной dF/df выпадает после того, как будет положено / = 0, т. е. х = 0).

Уравнение (124,16) можно считать применимым и в случае, когда тело подвержено воздействию зависящего от времени возмущения, если только период изменения силы / (г) велик по сравнению со временем установления .неполного равновесия (отвечающего каж­дому заданному значению х). Если f(t) — периодическая (с ча­стотой со) функция времени, то с той же частотой будет меняться и макроскопическое значение x(t). Подставив в уравнение (124,16) f (t) и x(t) в виде (123,8—9) и отделив в нем члены, содержащие ехр( — mt) и expicor, получим

— icoa (со) /о = — ка (со) fo + щ /о,

откуда

«(»)^вргга- 024,17)

Согласно ФДТ (124,9) находим теперь

^{^ = р1Г?Ь)1сШ|- 024,18)}

Этот результат обобщает формулу (122,9), относящуюся к флук­туациям классической величины. Выражение (124,18) отличается от (122,9) множителем

ff-cth|f, (124,19)

обращающимся в единицу в классическом пределе, когда &со<^7\ Уравнение (124,16) можно рассматривать и в другом аспекте: не как макроскопическое, уравнение движения далекой от равно­весия системы (находящейся под внешним воздействием), а как уравнение для флуктуации величины x(t) в равновесной замкну­той системе, происходящих под влиянием случайной силы f. В такой интерпретации оно отвечает уравнению (118,9), так что оба определения случайной силы отличаются лишь множителем: y = kf/T$. Для спектральной плотности (г/% найдем, подставив (124,17) в (124,12):

^G,-)_e ^{= f-^cth5-, (124,20)}

что отличается от прежнего выражения (122,10) тем же множи­телем (124,19).