§ 123. Обобщенная восприимчивость

Невозможно получить общую формулу для спектрального распределения произвольных флуктуации, аналогичную форму­ле (122,9) для квазистационарных флуктуации. Однако в ряде случаев оказывается возможным связать свойства флуктуации с величинами, характеризующими поведение тела под действием определенных внешних воздействий. При этом речь может идти о флуктуациях как классических величин, так и величин кван­товой природы.

Физические величины этой категории обладают тем свойством, что для каждой из них существует такое внешнее воздействие, которое описывается появлением в гамильтониане тела возму­щающего оператора вида

V = -xf(t), (123,1)

где х—оператор данной физической величины, а возмущающая обобщенная сила f есть заданная функция времени.

Квантовомеханическое среднее значение х при наличии такого возмущения отлично от нуля (в то время как в равновесном состоянии в отсутствие возмущения х = 0) и может быть пред­ставлено в виде а/, где а—линейный интегральный оператор, действие которого на функцию / (t) определяется формулой вида

со

x(t) = af= 5«(т)/(г—T)dx, (123,2)

§ 123] Обобщенная восприимчивость 411

где а(т)—функция времени, зависящая от свойств тела. Зна­чение х в момент времени t может, конечно, зависеть от зна­чений силы f лишь в предшествующие (а не последующие) моменты времени; выражение (123,2) удовлетворяет этому требо­ванию. О величине x(t) говорят как об отклике системы на внешнее возмущение.

Всякое зависящее от времени возмущение может быть сведено путем фурье-разложения к совокупности монохроматических компонент, зависящих от времени как е~^ш. Подставив в (123,2) / и х в виде /ше^-"⁰' и х_ае-^ш, получим связь между фурье-ком-понентами силы и отклика в виде

х„ = а (©)/«,, (123,3)

где функция а (со) определяется как

00

о(ев)= J a(t)e^la>tdt. (123,4)

о

Задание этой функции полностью определяет поведение тела под влиянием данного возмущения. Мы будем называть а (со) обоб­щенной восприимчивостью¹). Эта величина играет основную роль в излагаемой теории, поскольку через нее выражаются, как мы увидим, флуктуации величины х^г).

Функция а (со), вообще говоря, комплексна. Обозначим ее вещественную и мнимую части посредством а и а":

а (со) = а'(со)-На" (со). (123,5)

Из определения (123,4) сразу видно, что

о(— со) = а* (со). (123,6)

Отделяя здесь вещественную и мнимую части, находим

а'(— со) = а' (со), а" (_©) = — а" (со), (123,7)

!) В качестве примера укажем, что / может представлять собой электри­ческое поле, а х—электрический дипольный момент, приобретаемый телом в этом поле. При этом а является электрической поляризуемостью тела.

²) Определенная указанным образом величина а (<в) представляется более удобной, чем иногда используемый обобщенный импеданс Z(ro) = —l/tcooc(a>),

представляющий собой коэффициент в соотношении /а = Z(co) (х)_№.

т. е. а'(со)—четная, а а" (со) — нечетная функция частоты. При со = О функция а" (со) меняет знак, проходя через нуль (или в неко­торых случаях через бесконечность).

Следует подчеркнуть, что свойство (123,6) выражает собой просто тот факт, что отклик х должен быть вещественным при всякой вещественной силе /. Если функция f(t) чисто монохро­матическая и задается вещественным выражением

/ (t) = Re/₀е-^ = 1 [/.е-** (123,8)

то путем применения оператора а к каждому из двух членов получим

х =1 [ос (со) f₀e~^ -fa (-со) №<*]; (123,9)

условие вещественности этого выражения совпадает с (123,6).

В пределе со —>■ оо функция а (со) стремится к конечному ве­щественному пределу Для определенности будем считать ниже, что этот предел равен нулю; отличное от нуля а*, требует лишь очевидных незначительных изменений в некоторых из по­лучаемых ниже формул.

Изменение состояния тела под влиянием «силы» / сопровож­дается поглощением (диссипацией) энергии; источником этой энергии служит внешнее воздействие, а после поглощения телом она превращается в нем в тепло. Эта диссипация тоже может быть выражена через величину а. Для этого воспользуемся ра­венством

dE _ Ш dt~ dt '

согласно которому производная по времени от средней энергии тела равна среднему значению частной производной по времени от гамильтониана тела (см. § 11). Поскольку в гамильтониане явно зависит от времени лишь возмущение V, то имеем

ТЕГ"**- 023,10)

Это соотношение играет важную роль в применениях излагаемой теории. Если нам известно выражение для изменения энергии в том или ином конкретном процессе, то, сравнивая его с (123,10), можно установить, какая величина играет роль «силы» / по от­ношению к интересующей нас переменной х.

Подставив х и / из (123,8—9) в (123,10) и усреднив по вре­мени, мы получим среднюю величину энергии, диссипируемой (в единицу времени) в системе под влиянием монохроматического возмущения; обозначим эту величину посредством Q. Члены, содержащие ехр (±;2Ш), обращаются при усреднении в нуль,

и мы находим^х)

Q=^,|(a*-a)|/_e|« = ^a'(o>)|/„

(123,11)

Отсюда видно, что мнимая часть восприимчивости определяет диссипацию энергии. Поскольку всякий реальный процесс всегда сопровождается некоторой диссипацией (Q > 0), то мы приходим к важному выводу о том, что для всех положительных значений переменной со функция а" отлична от нуля и положительна.

Оказывается возможным получить некоторые весьма общие соотношения для функции а (со) путем использования математи­ческого аппарата теории функций комплексного переменного. Будем рассматривать со как комплексную переменную (со = со'+г'со") и исследуем свойства функции а (со) в верхней полуплоскости этой переменной. Из определения (123,4) и из факта конечности a (t) при всех положительных / следует, что а (со) есть однознач­ная функция во всей верхней полуплоскости и нигде не обращается в ней в бесконечность, т. е. не имеет особых точек. Действительно, при со" > 0 в подынтегральном выражении в (123,4) имеется экспоненциально убывающий множитель ехр (—гсо"), а поскольку и функция а (г) конечна во всей области интегрирования, то ин­теграл сходится. Функция а (со) не имеет особенностей и на самой вещественной оси (со"=0), за исключением, возможно, лишь начала координат²). Полезно обратить внимание на то, что вывод об отсутствии особых точек у функции а (со) в верхней полу­плоскости является с физической точки зрения следствием прин­ципа причинности. Последний проявляется в том, что интегриро­вание в (123,2) производится лишь по времени, предшествующему данному моменту t, в результате чего в формуле (123,4) область интегрирования и распространяется от0дооо(а не от—оодо+со).

Из определения (123,4) очевидно, далее, что

а(— со*) = а* (со).

(123,12)

Это есть обобщение соотношения (123,6), относящегося к ве­щественным значениям со. В частности, для чисто мнимых зна-

. ,₂ da °> I 2л'

*) Если речь идет не о чисто монохроматической функции / (/), а о воз­мущении, действующем в течение ограниченного промежутка времени (/—«-О при | i | —>■ оо), то полная диссипация энергии за все время выражается через фурье-компоненты возмущения интегралом

^{J Qdt = - J}_I^-cua(co)|f_M^|2g=₌^{j2coa"(co)|/,}

²) В нижней же полуплоскости определение (123,4) неприменимо, так как интеграл расходится. Поэтому функция а (со) в нижней полуплоскости может быть определена лишь как аналитическое продолжение выражения (123,4) из верхней полуплоскости. В этой области функция a (w) имеет, вообще говоря, особые точки, чений со имеем: a (t'co") = а* («о"), т. е. на мнимой оси функция а (со) вещественна.

Докажем следующую теорему: функция а (со) не принимает вещественных значений ни в какой конечной точке верхней по­луплоскости, за исключением лишь точек мнимой оси; на по­следней же ее (со) монотонно убывает от некоторого положитель­ного значения а₀ > 0 при со = Ю до нуля при со = iсо. Отсюда же, в частности, будет следовать, что функция а (со) не имеет нулей в верхней полуплоскости.

Рис. 53.

Для доказательства¹) воспользуемся известной теоремой теории функций комплексного переменного, согласно которой интеграл

/Г . (123ДЗ)

2т J аш а (со) —а \ > /

взятый по замкнутому контуру С, равен разности между числом нулей и числом полюсов функции а (со)—а в области, ограни­ченной контуром. Пусть а—вещественное число, а в качестве С выберем контур, состоящий из вещественной оси и бесконечно удаленной полуокружности в верхней полуплоскости (рис. 53). Предположим сначала, что а₀ конечно. Поскольку в верхней полуплоскости функция а (со), а потому а (со)—а, не имеет полюсов, то указанный интеграл дает просто число нулей разности а—а, т. е. число точек, в которых а (со) принимает вещественное зна­чение а.

Для вычисления интеграла пишем его в виде

1 г da

2m' J а—а ' с

причем интегрирование производится по контуру С в плоскости комплексной переменной а, являющемуся отображением контура С из плоскости со. Вся бесконечно удаленная полуокружность отображается в точку а = 0, а начало координат (со = 0) — в дру-

^J) Излагаемое ниже доказательство принадлежит Я. Н. Мейману.

гую, тоже вещественную точку а₀. Правая же и левая вещест- венные полуоси со отображаются в плоскости а в некоторые весьма сложные (вообще говоря, самопересекающиеся) кривые, лежащие соответственно целиком в верхней и нижней полупло- скостях. Существенно, что эти кривые нигде (кроме точек сс = 0 и ос = а₀) не пересекают ось абсцисс, так как а не, принимает вещественных значений ни при каком (кроме со = 0) конечном ве- щественном значении со. Ввиду этого свойства контура С полное изменение аргумента комплексного числа а—а при обходе вдоль него равно 2я (если число а лежит между 0 и а₀, как изобра- жено на рис. 53) или нулю (если а ____ ' /£)> лежит вне этого интервала) вне зави- ["""""^х. симости от числа самопересечений кон-

тура. Отсюда следует, что выражение / \

(123,13) р'авно единице при 0 < а < а₀ I \

и нулю при всяком другом значении a. L > ^—О >,1

Таким образом, мы приходим к вы- ^{и а} *

воду, что функция а (со) в верхней полу- Рис 54.

плоскости со принимает всего по одному

разу всякое вещественное значение а, лежащее в указанном интер­вале (и ни разу—значения, лежащие вне этого интервала). Отсюда прежде всего можно заключить, что на мнимой оси, где функция ос (со) вещественна, она не может иметь ни максимума, ни мини­мума: в противном случае она принимала бы некоторые значения по крайней мере дважды. Следовательно, на мнимой оси функция се (со) меняется монотонно, пробегая здесь и только здесь по одному разу все вещественные значения от а₀ до нуля.

Если а₀ = оо (т. е. а (со) имеет полюс в точке со = 0), то изло­женное доказательство меняется лишь в том отношении, что при движении (в плоскости со) вдоль вещественной оси надо обойти начало координат сверху по бесконечно малой полуокружности. Изменение контура С на рис. 53 можно представлять себе при этом как результат отодвигания а„ на бесконечность. Функция а (со) на мнимой оси в этом случае монотонно убывает от + оо до 0.

Далее выведем формулу, связывающую мнимую и веществен­ную части функции а (со) друг с другом. Для этого выберем какое-либо положительное вещественное значение со = со₀ и проинте­грируем выражение а/(со — со₀) по контуру, изображенному на рис. 54. Этот контур идет вдоль всей вещественной оси, огибая сверху точку со = со_о>0 (а также точку со = 0, если последняя является полюсом функции а (со)). Контур замыкается бесконечно удаленной полуокружностью. На бесконечности а—*-0, и потому функция а/(со—со₀) стремится к нулю быстрее, чем 1/со. Поэтому

интеграл сходится; поскольку же а (со) не имеет особых точек в верхней полуплоскости, а точка co = to₀ исключена из области интегриро­вания, то функция «/(<»—щ) аналитична во всей области внутри контура С, и написанный интеграл равен нулю.

Интеграл по бесконечно удаленной полуокружности обра­щается в нуль сам по себе. Точку же со₀ обойдем по бесконечно малой полуокружности (радиуса р—»-0). Обход происходит по часовой стрелке и дает в интеграле вклад, равный —/па(со₀). Если а„ конечно, то обход начала координат излишен и интег­рирование вдоль всей вещественной оси дает, таким образом,

пт

)-* о

/ <о₀-р <ю ч

\ \ , ^а dto+ \ ———da) у — гяа(со„) = 0.

Первый член есть интеграл от —со до +оо, понимаемый в смысле главного значения. Отмечая это обстоятельство, как принято, перечеркнутым знаком интеграла, имеем

00

^{fna (<»,) = \ ~^ю. (123,14)}

— СО

Переменная интегрирования со пробегает здесь лишь веществен­ные значения. Переобозначим ее буквой £, а посредством со обозна­чим заданное вещественное значение со„; напишем также функцию а (со) вещественного переменного со в виде a = a'-f-ia". Отделяя в (123,14) вещественную и мнимую части, найдем окончательно следующие две формулы:

со — со

да

^a'>) = -lHf^- 023,16)

— оо

¹) Что касается свойства a —>■ 0 при со —► оо, то оно не является сущест­венным: если бы предел ос» был отличен от 0, то надо было бы просто рас­сматривать разность a—а» вместо а с соответствующим очевидным видоизме­нением формул (123,15—16). См. также задачу к § 126.

Эти соотношения (которые называют дисперсионными) были впервые получены Крамерсом и Кронигом (Н. A. Kramers, R. L. Kronig, 1927). Подчеркнем, что единственным существенным свойством функции а (со), использованным при выводе этих формул, является отсутствие особых точек в верхней полуплоскости¹). Поэтому можно сказать, что формулы Крамерса—Кронига (как и указанное свойство функции а (со))являются прямым следствием принципа причинности.

Воспользовавшись нечетностью функции а" (£), можно перепи­сать (123,15) в виде

^V ' 31 J \ —ю ^{в 1} л Ji+ш ^в

или

«>) = |-$|&§^ (123,17)

о

Если функция а (со) имеет полюс в точке со = 0, вблизи кото­рой а=М/со, то обход этого полюса по полуокружности дает в интеграле дополнительный вещественный член — Л/со₀, который должен быть прибавлен к левой стороне равенства(123,14). Соот­ветственно такой же член появится и в формуле (123,16):

со

_{«•<«) = --Йг^+4-} ⁽¹_23,18)

— со

Формулы же (123,15) или (123,17) остаются без изменений.

_i

Выведем еще формулу, выражающую значения а (со) на верх­ней мнимой полуоси через значения а" (со) на вещественной оси. Для этого рассмотрим интеграл

соа (со)

dco,

соЧ-Wo

взятый по контуру, состоящему из вещественной оси и беско­нечно удаленной полуокружности в верхней полуплоскости (со„ — вещественное число). Этот интеграл выражается через вычет подынтегрального выражения относительно полюса со = г'со₀. С дру­гой стороны, интеграл по бесконечно удаленной полуокружности исчезает, так что получаем

СО

¹ асо = та (ш₀).

J U>² + C0jj — со

В левой стороне равенства вещественная часть интеграла обра­щается в нуль в силу нечетности интегрируемой функции. За­менив также обозначения со₀ и со на со и \, получим оконча­тельно:

«^^НЙЙИ- 023,19)

Если проинтегрировать это соотношение с обеих сторон по dco, то получается

со со

$ а (ко) dco = $ а" (со) dco. (123,20)

о о