§ 122. Спектральное разложение флуктуации

Введем спектральное разложение флуктуирующей величины x(t) по обычным формулам разложения Фурье:

00

х_а= J x(t)e^mdt, (122,1)

— 00

и обратно

со

*(/)= J ^Х^~^Ш^' (122,2)

— 00

Следует заметить, что интеграл (122,1) фактически расходится, поскольку x(t) не стремится к нулю при \t\—*-«>. Это обстоя-

тельство, однако, несущественно для дальнейших формальных выводов, имеющих целью вычисление заведомо конечных средних квадратов¹).

Подставляя (122,2) в определение корреляционной функции (118,1), получим

со

^Ф ₍^{г -*)=<* (f) х (г)> = 5 5 <w> е-1 ш+°>'"> . (122,3)}

— со

Для того чтобы интеграл в правой стороне равенства был функ­цией только от разности t — г', подынтегральное выражение должно содержать б-функцию от co-f-co', т. е. должно быть

<х_ах_а.> = 2п(х*)_а6 (& + &'). (122,4)

Это соотношение надо рассматривать как определение величины, обозначенной здесь символически посредством (лг²)_ш. Хотя вели­чины х_т комплексны, но (х²)_а, очевидно, вещественны. Действи­тельно, выражение (122,4) отлично от нуля лишь при со' =— со и симметрично по отношению к перестановке со и со'; поэтому (х²)сл = (х²)-а» а перемена знака со эквивалентна переходу к комп­лексно-сопряженным величинам.

Подставляя (122,4) в (122,3) и исключая б-функцию интегри­рованием по dco, находим

со

^{9(0= j (х%е~^^. (122,5)}

— ОО

В частности, ср(0) есть средний квадрат флуктуирующей ве­личины:

00 со

_<^>=1^)^=1²_{^^- ОВД}

— со о

Мы видим, что спектральная плотность среднего квадрата флук­туации как раз совпадает с величиной (%% (или 2(х²)_а, если интеграл распространен только на положительные частоты). Эта же величина является, согласно (122,5), и компонентой Фурье корреляционной функции. Обратно:

со

^{(х%= J y{t)emdt. (122,7)}

— СО

¹) В способе введения спектрального разложения флуктуации мы следуем С. М. Рытову.

В написанных формулах величина x(t) предполагалась клас­сической. В случае квантовой величины разложение (122,1—2) должно относиться к зависящему от времени оператору x(t), а определение спектральной плотности (х^г)_а записывается (вместо (122,4)) в виде

у + = 2я (х% б (со fсо'). (122,8)

Для корреляционной функции квазистационарных флуктуации одной величины в § 118 было получено выражение (118,8). Эле­ментарное интегрирование дает следующий результат для ее спектрального разложения:

⁼ j[a^=7^ + X+7^"] ⁼р(со2 + Я2) • (122,9)

В соответствии с физическим смыслом приближения, отвечающего квазистационарным флуктуациям, это выражение применимо лишь для частот, малых по сравнению с обратным временем неполного равновесия.

В терминах введенной в конце § 118 случайной силы у (t) временная зависимость флуктуирующей величины х описывается уравнением х = — %х-\-у. Умножив его на е^ш и проинтегриро­вав по dt в пределах от — оо до -f- со (причем член хе^ш инте­грируется по частям¹)), получим (X — ш)х_и = г/_и. Отсюда ясно, что надо положить

(*/%=(©•+ Х»)(*»)_в = -^. (122,10)

Это выражение можно, конечно, получить и прямо из (118,10). Наличию б-функции б (г) в (118,10) отвечает в (122,10) незави­симо («/% от со.

Написанные формулы непосредственно обобщаются на флук­туации одновременно нескольких термодинамических величин x_lt х₂, ... Соответствующие корреляционные функции q>ik(t) были определены в § 119. Компоненты их спектрального разложения определяются как

CD ОЭ

_{= J Ч>« О} ^dt _{= S <*i W ** <°)>} ^{еШ dt}_{> (122,11)}

— 05 — 00

а вместо (122,4) имеем

<*ta.W> = 2я (хсх_к)а б (со + со') (122,12)

^х) При этом члены, содержащие х(± оо), следует опустить; их появление связано с упомянутой выше фактической расходимостью интегралов (122,1). С формальной точки зрения эти члены все равно несущественны при вычисле­нии среднего (у_ау_а>>, поскольку они конечны при <в' = —со и могут быть опущены по сравнению с 6-функционным основным членом.

(в обозначении (*,-х*)_щ порядок множителей существен!).

Изменение знака времени эквивалентно замене со—— са в спектральном разложении, а эта замена в свою очередь озна­чает комплексное сопряжение величин {х₍х_к)_а. Поэтому равенство Ф|*(0 ⁼ Ф*/(—0 (49,2) означает, что

(_Xix_R) = (x_kXi). „ = (ад)* • (122,13)

Симметрия же флуктуации по отношению к обращению времени, выражающаяся равенствами (119,3) или (119,4), в терминах спек­трального разложения записывается как

(х_{х_к)_ш = ± (*/**)-« = ± (^х1^хк)ш (122,14)

где знаки + или — относятся соответственно к случаям, когда сами величины х,- и х_к ведут себя одинаково или по-разному по отношению к обращению времени; в первом случае, следовательно, величина (*,•**)«> вещественна и симметрична по индексам i, k, а во втором — мнима и антисимметрична.

В § 119 была написана система уравнений (119,8), которой подчиняются корреляционные функции квазистационарных флук­туации. Эти уравнения легко решаются с помощью спектраль­ного разложения.

Поскольку уравнения (119,8) относятся только к временам t > 0, производим над ними «одностороннее» преобразование Фурье: умножаем уравнения на е^ш и интегрируем по dt в пре­делах от 0 до оо. При этом член e^iv>t<f_n(t) интегрируется по ча­стям; учитывая, что q>₍₇(oo) = 0, получим

^{— Фн (0)—to (*л)2"' = — А.»}

где введено обозначение

(*Л)&^>=$Ф;| Л. (122,15)

о

Значение ц>ц(0) определяется «начальным условием» (119,9); по­этому

(X_ik—m8_ik) ix_kXiY^ = В,?

или

{lik—toP_/A) (***«)»' =

где вместо коэффициентов X_ik введены более удобные (ввиду их симметрии) кинетические коэффициенты £i* = Pi^** (см. (120,13)). Решение этой алгебраической системы уравнений

где —1 в показателе означает взятие обратной матрицы.

С другой стороны, интересующие нас компоненты спек­трального разложения (122,11) выражаются через компоненты

«одностороннего» разложения (122,15) равенствами

(*Л)* = + (***,)£>*; (122,16)

в этом легко убедиться, представив интеграл от — оо до + со в виде суммы двух интегралов (от —оо до 0 и от 0 до + оо), заменив в первом из них t—*■—t и воспользовавшись свойством симметрии (119,2). Таким образом, окончательно находим

^(xtx_k⁾_a ^{= (С-ifflP)»1 + « + (122,17)}

В силу свойств симметрии матриц £,_й и В,-_А, величины (122,17) автоматически обладают свойствами (122,13) или (122,14)!).

Полученные результаты можно представить в другом виде, введя в релаксационные уравнения «случайные силы» подобно тому, как это было сделано в конце § 118 для одной флуктуи­рующей величины. При этом корреляционные свойства этих сил фурмулируются в особенно простом виде, если ввести их в урав­нения, записанные с помощью термодинамически взаимных вели­чин—как это сделано в (120,5) или (120,13). Так, введя случай­ные силы У,- в уравнения (120,13), запишем их в виде

*,- = -£/**» +Г,; (122,18)

величинами У,- можно пренебречь, когда х₍ становятся больше своих средних флуктуации. Аналогично тому, как это было сде­лано при выводе (122,10), получим после простого вычисления следующую формулу для спектрального разложения корреляцион­ных функций случайных сил:

(У₁-У»)_И = С« + С«. (122,19)

Как и в (122,10), эти величины не зависят от частоты. Если же ввести случайные силы у; в уравнении (120,5):

х1 = -Ъ_кХ_л+у„ (122,20)

то для их корреляционной функции получится аналогичная фор­мула

(У1Ук)* = Ч1_к + Чы- (122,21)

Эта формула очевидна без новых вычислений, если снова вспом­нить о взаимном характере соответствия между величинами х_{ и X,- (см. примечание на стр. 367). Преимущество формул (122,19)

^J) Матрица величин р,д всегда симметрична. Но если некоторые и х_к ведут себя по-разному при обращении времени, то соответствующее р,-_А=0. Это следует из того, что р,£ есть коэффициент при произведении jc,\*_ft в квадратич­ной форме (111,1), определяющей изменение энтропии при отклонении от рав­новесия. Поскольку энтропия инвариантна относительно обращения времени, а произведение х{х_к меняет знак, то энтропия не может содержать такого члена, т. е. должно быть р,^ = 0.

и (122,21) состоит в том, что в них входят компоненты самих матриц t,_ik и y_ik, а не обратных им¹).

В качестве примера применения полученных формул рассмот­рим флуктуации одномерного осциллятора. Другими словами, рассмотрим тело, покоящееся в равновесном положении (Q = 0), но способное совершать малые колебания по некоторой макро­скопической координате Q. Благодаря флуктуациям координата Q будет в действительности испытывать отклонения от значений Q=0. Средний квадрат этого отклонения определяется непо­средственно по коэффициенту в квазиупругой силе, действующей на тело при его отклонении.

Напишем потенциальную энергию осциллятора в виде

где т—его «масса» (т. е. коэффициент пропорциональности между обобщенным импульсом Р и скоростью Q:P = mQ), а со₀—ча­стота свободных колебаний (в отсутствие трения). Тогда средняя квадратичная флуктуация (ср. задачу 7, § 112) будет равна

«?*> = -£;-. (122,22)

/ШВо

Спектральное разложение флуктуации координаты произведем для общего случая, когда колебания осциллятора сопровож­даются трением.

Уравнения движения осциллятора с трением гласят:

' Q=-£, (122,23)

P = -mcoe,Q-₇-£, (122,24)

где—уР/т =— yQ есть сила трения. Как было объяснено в § 121, если рассматривать Q и Р как величины х, и х_г, то соответствующими Х₁ и Х_а будут: m&tQlT и Р/тТ. Уравнения (122,23—24) играют при этом роль соотношений x_t = — Y,-_ftX_A, так что

7п = 0, Yi₂ = — Т_й1 = — Т, у₂₂ = уТ.

Чтобы применить эти уравнения к флуктуациям, переписы­ваем (122,24) в виде

P = — matQ-±P+y, (122,25)

!) Независимость выражений (122,19) и (122,21) от частоты означает (как и в случае формулы (122,10) для одной флуктуирующей величины), что сами корреляционные функции <К,- (t) Y_k (0)> и <щ \t) у_к (0)> содержат б-функцию времени. Так,

<!/i V) Ук (0)> = (т» + v«) в (0- (122,21а)

введя в его правую часть случайную силу у. Уравнение же (122,23), являющееся определением импульса, следует оставить неизменным. Согласно формуле (122,21) непосредственно находим спектральную плотность флуктуации случайной силы:

(*/% = 2у₂₂ = 2уГ. (122,26)

Наконец, для нахождения искомого (Q²)_ffl пишем, подставив P = mQ в (122,25):

mQ+yQ+ma>lQ=y. (122,27)

Умножив это уравнение на е^ш и интегрируя по времени, найдем

(— mco²—j coy +/nco²) Q₍₀ = y_(i>, откуда окончательно

_{(Q%= 2/ ,} ^2T_{L , , .. (122,28)}

m² (со²—соо)²+со³7^{2 4} ' '