§ 117. Корреляция флуктуации плотности в вырожденном газе

Как уже было отмечено в предыдущем параграфе, в класси­ческом идеальном газе никакой корреляции между положениями различных частиц вообще нет. В квантовой механике, однако, такая корреляция возникает ввиду косвенного взаимодействия частиц идеального газа в силу принципа симметрии волновых функций

Задача об определении корреляционной функции в вырож­денном газе наиболее просто может быть решена методом вторич­ного квантования (который уже был применен в § 80 для вы­числения энергии электронного газа).

Как известно, в этом методе плотности числа частиц отвечает оператор

п(г) = гр⁺(г)гр(г); после подстановки яр-операторов (80,5) он выражается суммой

п(г)= 2 ар_аа_Р'₀'%_а(г)%'а'(г), (П7,1)

оо'рр'

где суммирование производится по всем значениям импульсов р, р' (для свободных частиц в объеме V) и по проекциям спина а, а'²). Но ввиду ортогональности спиновых волновых функций, отве­чающих различным значениям а, фактически отличны от нуля лишь члены суммы с а = а'. В произведениях ■ф_р0'Фр'а нормиро­ванные спиновые множители дают единицу, так что волновые функции можно писать просто в виде координатных плоских волн

^ = -^=е'^. (117,2)

Легко видеть, что диагональные члены суммы (117,1) (р = р') дают как раз среднюю плотность п: поскольку оператор а_ра⁺ я_ра есть просто число частиц п_ро в данном квантовом состоянии, то сумма этих членов равна

1 ^ N _-

Т2и^Пра~ Т~~^п'

^х) Корреляция флуктуации в ферми-газе была рассмотрена В. С. Фурсовым (1937), а в бозе-газе—А. Д. Галаниным (1940).

²) Напомним, что волновые функции частицы со спином представляют собой спиноры и произведение волновых функций в (117,1) является в действи­тельности «скалярным произведением» ковариантного и контрвариантного спи­норов с соответствующим суммированием по спинорным индексам (с которыми не следует смешивать индексы а, а', указывающие собственные значения проекции спина в данных состояниях).

ар

Поэтому можно написать

Ли = я (г)—п = 2' йраар-а'Фр'Фр', (117,3)

ОРР'

где штрих у знака суммы означает, что диагональные члены в ней должны быть опущены. С помощью этого выражения не представляет труда вычислить интересующее нас среднее значе­ние <Лп₁Лге₂>.

Вычисление среднего значения производится в два этапа. Прежде всего надо произвести квантовомеханическое усреднение по состояниям частиц. Это усреднение сводится к взятию соот­ветствующего диагонального матричного элемента данной вели­чины. Перемножив два оператора (117,3), относящиеся к двум различным точкам г_г и г₂, мы получим сумму членов, содержа­щих различного рода произведения операторов а_ра, а_ра, взятых по четыре. Но из всех этих произведений имеют диагональные матричные элементы лишь те, которые содержат две пары опе­раторов й_р<т, а_ра с одинаковыми индексами, т. е. члены

2' а^ар-а^Цро^р (г,) г|у (rj г|у (r_t) ip_p (г₂).

opp'

Эти члены представляют собой диагональные матрицы, причем

йр'ойр'о — 1 -+- Пр'в, Орвйра— Про

(здесь и везде ниже верхний знак относится к случаю стати­стики Ферми, а нижний — к статистике Бозе). Подставляя также функции яр_р (117,2), получим

-jjs (1 =F Vo) "ров* ^(р_р'^{) (г}*~^г*^)/к.

арр'

Это выражение должно быть теперь усреднено в статистиче- ском смысле, т. е. по равновесному распределению частиц по различным квантовым состояниям. Поскольку частицы, находя- щиеся в различных квантовых состояниях, ведут себя незави- симо друг от друга, то усреднение чисел п_ро и «_р<₀ производится независимо. В результате для искомого среднего значения на- ходим , _ _

<Л_ге1Лп₂> = -j)r£ (1 + Пр-о) «p₀e'' ^(р-^{р0 (r}'-^r'^)/fe- (117,4)

opp'

От суммирования по р, р' перейдем теперь обычным образом к интегрированию по Vd³pVd³p'/(2яД)^в (при этом ограничение р=?^р' становится несущественным). Интеграл разбивается на две части, из которых первая есть

:«6(г₂ — г_х).

'ра'

Интегрирование по d³p'/(2nh)³ дает б-функцию б (г₂—г_х), кото­рая позволяет положить г₂—г_х = 0 в оставшемся подынтеграль­ном выражении; после этого остается

(2л%)³

d³p

8(г₂-г_х)>Г

Это есть как раз первый член в формуле (116,3). Поэтому для корреляционной функции (второй член в (116,3)) находим сле­дующее выражение:

pipt/h

pa

(2л&)³

(117,5)

В равновесном газе распределение частиц по квантовым со­стояниям дается формулой распределения Ферми или Бозе

п_Ра^йр = |е^<£-^д)/г± I]^-1- (П7,6)

d³p

(117,7)

Эти числа не зависят от а; поэтому суммирование по о в (117,5) дает просто множитель g = 2s-f- 1 (s—спин частицы). Таким обра­зом, получаем окончательно следующую формулу для корреля­ционной функции ¹):

Jpr/h

v(r) = =F-I-

п

или после интегрирования по направлениям р

g

sin (рг/%) р dp _е(е-Ю/Г _± j

(117,8)

(117,9)

<|A«_kl²> = f J

Приведем также формулу для средних квадратов компонент Фурье флуктуации плотности, которую легко получить, подстав­ляя v (г) из (117,7) в общую формулу (116,13) и производя ин­тегрирование по координатам ²):

d³p

-Jn_P(l+n_P+fek)₍₂^₎₃

^г) В случае бозе-газа эта формула относится только к температурам выше точки бозе-эйнштейновской конденсации (см. задачу 4).

²) Не смешивать фурье-компоненты флуктуации плотности газа Дп_к с чис­лами заполнения квантовых состояний частиц я_!

_{Из формулы (117,7) видно прежде всего, что для ферми-газа v (г) <0, а для бозе-газа v (г) > 0. Другими словами, у бозе-газа присутствие в некоторой точке пространства частицы увеличи­вает вероятность нахождения другой частицы вблизи этой точки, т. е. частицы испытывают своеобразное притяжение. В ферми-газе, напротив, частицы проявляют аналогичное отталкивание (ср. замечание в конце § 56).}

В соответствии со сказанным в начале этого параграфа в клас­сическом пределе корреляционная функция обращается в нуль: при %—>-0 частота осциллирующего множителя ехр (фгД) в подын­тегральном выражении в (117,7) неограниченно возрастает, и ин­теграл стремится к нулю.

При г—*-0 функция v (л) стремится к постоянному пределу:

п

рр

² = Т —. (117,10)

g

^Р (2яА)

Применим формулу (117,8) к ферми-газу при Т — 0. В этом случае функция распределения есть ступенчатая функция: я_р=1 при р < p_F и tt_p = 0 при p>p_F, где p_F=ft(6n²n/g)^1/3 —гранич­ный импульс. Поэтому находим

v(r) =

4л⁴Й*й

^{j" psm^dp}

Рассмотрим не слишком малые расстояния—будем считать, что ррг/А^>1. Соответственно этому вычисляем интеграл, сохранив лишь член с наименьшей степенью 1/г:

i \ „ p_Fr

v (г) = cos ££-.

Квадрат косинуса быстро меняется на интервалах Аг, малых по сравнению с рассматриваемыми расстояниями. Усреднив по такому интервалу, найдем

Задач и

1. Определить средний квадрат фурье-компонент (с малыми волновыми векторами: k<^p_F/%) флуктуации плотности в ферми-газе при Т = 0.

Решение. Подынтегральное выражение в (117,9) отлично от нуля (и равно единице) лишь в точках, в которых пр~\, rtp + fck = 0, т. е. в точках, принадлежащих сфере радиуса рр и в то же время не принадлежащих сфере того же радиуса с центром, сдвинутым на %к. Вычисляя объем этой области при %k<^.pp, получим

2. Определить корреляционную функцию для ферми-газа при температу- рах; низких по сравнению с температурой вырождения.

Решение. В интеграле в (117,8) полагаем р. я e_F = p²_F/2m и преобра­зуем его следующим образом:

1 00

j_\'P sin (pr/%) dp _ ^ д f cos (pr/%) dp

Г p sin (pr/li) dp _ - д_ Г cos (pr/h) dp

0 ~ 0 '

Производим интегрирование по частям, после чего вводим новую переменную х = рр(р—p_F)/mT. Ввиду малости Т подынтегральное выражение быстро убы- вает с ростом |jc|, и потому интеграл по dx можно распространить от—оо до +оо:

/=_*.|.± f sin (fgr + bcr) ^ =

dr г J ^ J _(e*₊i)_(e-*₊i)

^{= _£a^ ) sin (p}_F^{r/%) j} _gftrje^_

^ \ »" J (e*+l)(e~*+l)|

(где % = mTi%pp). Получившийся интеграл подстановкой (e^x-\- i)~¹ = u приво­дится к В-интегралу Эйлера, и в результате получается

/ = i_2L__si„££L 6Y (sh (яЯ,/-) ft. J

Для расстояний г ^> %/рр усреднив быстро меняющийся квадрат косинуса, получаем окончательно

. , 3(тГ)² , ,/мпТгу

v(r) = — sh-² ( —г ] .

4Пру> \ %рр )

При Т—>-0 эта формула переходит в (117,11). В асимптотической области, где rppfh велико не только по сравнению с 1, но и по сравнению с Ер/Т, имеем

3 (тТ)² / 2nmTr\ %ррг² V Ърр )'

v^-^-exp,

3. Определить корреляционную функцию для бозе-газа на больших рас­стояниях (г %1 У тТ) при температурах выше точки Т₀ начала бозе-эйнштей-новской конденсации, но близких к ней.

Решение. Вблизи точки Т₀ химический потенциал | ц | мал (см. задачу к § 62). При этом интеграл в (117,7) (обозначим его /) определяется областью малых значений р: в/Т ~ р²/шТ ~ | p. \/Т <^ 1. Поэтому, разлагая подынте­гральное выражение по е и ц,, находим *)

J p²/2m + |u.| (2яЛ)³ 2nAV \ % /

Окончательно

y^J^expi-r^HH. 4л²пРг² \ % /

1

) Использована формула фурье-преобразования

J г ^av x² + ft²' Jx²

<² + k² (2л)³ 4w *

Ее проще всего можно получить, заметив, что функция ц> = е~*^г/г удовлетво­ряет дифференциальному уравнению

Д<р—х²ср = —4яб (г).

Умножив это уравнение с обеих сторон на е~^1кт и интегрируя по всему про­странству (причем интеграл от е^_,кг Дф берется дважды по частям), получим требуемый результат.

4. Определить корреляционную функцию бозе-газа при Т < Т₀.

Решение. При Т <Т₀ конечная доля числа частиц (N_et=0) находится в состояниях с р = 0 (конденсат). Возвращаясь к выражению (117,4) надо пред­варительно (до перехода от суммирования к интегрированию) выделить в нем члены с равным нулю р или р', учитывая при этом, что число частиц в каж­дом из квантовых состояний с р = 0: ир=₀ = N_e=o/g. После этого сумма преоб­разуется, как это было сделано в тексте, и в результате вместо (117,7) на­ходим

п п J (2лЩ³

(где п_й = N_e=,₀/g), причем п_р дается формулой распределения Бозе с (1=0:

На расстояниях г^>%/ VmT интеграл / = шТ/2л%²г (формула из предыду­щей задачи с р- = 0), так что

тТп₀ . gm²T² ■v (г) = -, -1—==т— ; nnWr 4л²пп*г²

вторым членом можно пренебречь, если только Т не слишком близко к Т₀ (так что п₀ не слишком мало). В обратном случае, на расстояниях г <^%/Y"mT, интеграл _

/ ~ Гй ^d3p ₌^п~^п<> ~ J ^р (2л%)³ g '

так что

v(r) и v(0) =

gn

Отметим, что интеграл ^ х аУ для бозе-газа при Т < Т_д расходится, и по­тому вычисление по формуле (116,5) привело бы к бесконечному значению флуктуации числа частиц—в соответствии с замечанием, сделанным уже в § 113.