§ 108. Энергия гравитирующего тела

Гравитационная потенциальная энергия тела £_гр определяется, как известно, интегралом

^H_rp ^{= |J}_P^{cpdV, (108,1)}

взятым по всему объему тела. Нам, однако, будет удобнее исхо­дить из другого представления этой величины, которое можно получить следующим образом. Представим себе, что тело посте­пенно «составляется» из вещества, «приносимого» из бесконечности. Пусть М(г) есть масса вещества, заключенного внутри сферы радиуса г. Предположим, что масса М (г) с некоторым опре­деленным г уже принесена из бесконечности; тогда работа, не­обходимая для доставления дополнительной массы dM (г), равна потенциальной энергии этой массы (распределенной в виде шаро­вого слоя радиуса г и толщины dr) в поле массы М(г), т. е.

GM(r)dM (г)

Поэтому полная гравитационная энергия сферы радиуса R есть £_{rp =} -GJ^M(^. (108,2)

Продифференцировав условие равновесия (107,2), получим

dP . , dw _п

^v4F+^m-dT⁼⁰

(дифференцирование должно производиться при постоянной темпе­ратуре, (d\i/dP)_T = v—объем, отнесенный к одной частице). Про­изводная—dy/dr есть сила тяготения, действующая на единицу

массы на расстоянии т от центра; она равна — GM(r)/r^a. Вводя также плотность р = га'/у, получаем

i4r—^ <¹⁰ад

Выразив отсюда GM(r)jr через dP/dr и написав dM(r) = — р (r)-4nr²dr, представим выражение (108,2) в виде

R

E_rv = 4п $ г* §-dr.

о

Интегрируя теперь по частям (и учитывая, что на границе тела Р (Я) = 0 и что г³Р —* 0 при г —>■ 0), получим

R

E_rv = — 12я ^Pr²dr = — 3 §PdV. (108,4)

о

Таким образом, гравитационная энергия равновесного тела может быть выражена в виде интеграла от его давления по объему.

Применим эту формулу к рассмотренным в предыдущем пара­графе телам из вырожденного ферми-газа. При этом произведем вычисления в общем виде, положив, что химический потенциал вещества пропорционален некоторой степени его плотности:

\i = Kp^l/n. (108,5)

т'

Имея в виду, что d\i = vdP = — dP, находим давление

^к р^{1 +} >/". (108,6)

(п + 1) "I'

В условии равновесия (p/m') + cp = const постоянная в правой стороне равенства есть не что иное, как потенциал на гра­нице тела, где р обращается в нуль; этот потенциал равен — GM/R (М = М (R) — полная масса тела), так что можно на­писать:

u GM

Подставляем это выражение в интеграл (108,1), определяющий гравитационную энергию, и, воспользовавшись формулами (108, 5—6), находим

2R

Наконец, выразив интеграл в правой части равенства через £_гр, согласно (108,4), получим

Таким образом, гравитационная энергия тела выражается простой формулой через его полную массу и радиус.

Аналогичную формулу можно получить и для внутренней энергии тела Е. Внутренняя энергия, отнесенная к одной частице, равна р,— Pv (при равной нулю температуре и энтропии); поэтому энергия, отнесенная к единице объема, есть

— (u—Pv) = Р = пР

(в последнем равенстве использованы (108, 5—6)). Поэтому внут­ренняя энергия всего тела

£ = «jPdl/ = -|£_rp = ^_r-^fl. (108,8)

Наконец, полная энергия тела

Е_аош = £ + £_rp = - .f=£- ^f-. (108,9)

Для нерелятивистского вырожденного газа имеем /г = 3/2, так что¹)

F — — 1.9^1 F- ^{3 GM2} F - ^{3 GM2} ППЙ 1П\

■'-'гр 7 R ' 7 R ' ^полн— 7 ' (.^Оо,

В ультрарелятивистском же случае имеем п = 3, так что

£r_P = -£ = -4if\ £полн=о. (108,11)

Полная энергия равна в этом случае нулю в соответствии с изло­женными в предыдущем параграфе качественными соображениями о равновесии такого тела ²).