Лабораторная работа 11 (2 часа)

Задание 1. Дискретные волновые вейвлет - преобразования.

Используются две функции дискретных волновых преобразований или так называемых вейвлет – преобразований.

wave(v) – дискретное волновое преобразование действительных чисел с использованием 4-коэффицентов волнового базиса Добеши. Вектор v должен содержать 2ⁿ действительных значений, где n – целое значение.

iwave(v) – обратное преобразование относительно преобразования wave, где v – вектор с числом элементов 2ⁿ.

Суть волновых преобразований сводится к замене синусоид, как базовых функций, действующих во всем диапазоне времен (от -∞ до +∞), на новые базисные функции в виде коротких волновых пакетов, которые могут перемещаться по оси t или х и масштабироваться (сжиматься или растягиваться). Это позволяет моделировать отграниченные по времени сигналы. Вместо параметра «амплитуды гармоник» в вейвлет - преобразованиях используются так называемых вейвлет - коэффициенты. Вейвлет – коэффициенты являются довольно сложными временными зависимостями, и они выполняют роль весовых множителей.

Пример 1. Применение вейвлет - преобразования импульса в виде бухтообразного возмущения горизонтальной компоненты геомагнитного поля. Сравнительный анализ вейвлет – преобразований и Фурье – преобразований.

Числовые значения исходного импульса (набираются на диске d в файле Primer.txt):

0 1 -28 -56 -85 -71 -63 -29 -35 -21 -21 -12.4 -1 2 2.7 10 5.4 3.2 -5.4 66 28.5 3 -0.5 -7 -16 6 5 -0.5 -3 -3 1 0 -9 -13 -15 -16 -21 -34 -41.4 -34 -34.5 -35 -37.7 -39 -35 -31 -41.5 -38 -25.3 -15 -13 -14 -28 -38 -75 -63 -20 -14 -11 -3 3 11 16 7.5

Решение. i := 0 .. 31 – задается ранжированная переменная i.

M : = READPRN(“d:\Primer.txt”) – вводится исходный массив.

z_i := M_0,I - формируется вектор z с исходными данными.

f := wave(z) – выполняется прямое вейвлет -преобразование.

f1 := fft(z) – прямое преобразование Фурье.

j : = 0 .. 15 - задается ранжированная переменная j.

a := iwave(f) – выполняется обратное вейвлет - преобразование.

График исходного импульса (z) и восстановленного импульса (a) в результате обратного вейвлет - преобразования:

Вейвлет - спектрограмма и амплитудно – частотная характеристика спектра преобразования Фурье.

Задание 2. Техника вейвлет – преобразований на примере прямоугольного импульса.

N := 256 S_N-1 := 0 n := S_n := 1 i := 0,1 .. 255 – задается прямоугольный импульс вида:

S =

График заданного прямоугольного импульса.

W := wave(S) – прямое вейвлет – преобразование импульса.

k := - определяется количество информативных вейвлет–коэффициентов (k = 7).

m := 1,2 .. k – задается ранжированная переменная m.

coeffs(level) := submatrix (W, 2^level,2^level+1-1,0,0) – формула по которой определяются коэффициенты вевлет-преобразований (выделяются подматрицы, у которых номер столбца есть номере вейвлет – коэффициента).

Функция submatrix (A, ir, jr, ic, jc) – блок матрицы А, состоящий из всех элементов, содержащихся в строках от ir до ок и в столбцах от ic до jc (ir ≥ jr и ic ≥ jc).

C_i,m := - определение коэффициентов вейвлет – преобразований.

Функция floor(x) – выдает наибольшее целое число, меньшее или равное действительному х.

График 1, 2 и 3 вейвлет – коэффициентов.

График 3, 4 и 5 вейвлет – коэффициентов.

Задание 3. Восстановление исходного прямоугольного сигнала с использованием первых пяти коэффициентов.

L := 5 – количество вейвлет – коэффициентов, используемых для восстановления исходного сигнала. Значения вейвлет - коэффициентов (W) берется из задания 2. j := 2^L .. N-1 W_j := 0 – формирование из массива вейвлет – коэффициентов W новый массив W, содержащий только 5 вейвлет – коэффициентов. S1 := iwave(W) – обратное вейвлет – преобразование (восстановление сигнала по 5 вейвлет – коэффициентам).

График исходного прямоугольного импульса и восстановленного по 5 коэффициентам в результате вейвлет – преобразования.