Лабораторная работа 9 (2 часа)

Задание 1. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

Пример 1. Дано неоднородное дифференциальное уравнение y^/ + 2xy = x· ·sin(x). Требуется найти общее решение уравнения.

Решение. Найдем решение для уравнения в общем виде y^/ = a(x)y + b(x) по готовой формуле.y(x, С) := С·exp( ) + )·z·exp(-z²)·sin(z)dz y(x, С) → С·exp(-x²) + (sin(x) - x·cos(x))·exp(-x²).

Проверка.

+ 2·x·y(x, С) - x·exp(-x²)·sin(x) simplify → 0.

Задание 2. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение: (1 + х²)y^/ = 2x .

Решение. Запишем уравнение в нормальной форме: y^/ = . Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, в результате получим уравнение вида: .

Запишем выражение для общего интеграла этого уравнения:

F(x,y) := .

Вычислим выражение для общего интеграла данного уравнения:

F(x,y) → asin(y) – ln(1 + x²).

Общий интеграл уравнения записывается в виде F(x,y) = С:

asin(y) – ln(1 + x²) = С.

Общий интеграл описывает не все решения уравнения, а только те для которых у отличен от 1 и от -1. Все решения уравнения описываются равенствами:

asin(y) – ln(1 + x²) = С, y = 1, y = -1.

Выражение F(x,y) = С задает решение уравнения у = у(х) как функцию переменной х в неявной форме.

Проверка. Вычислим производную y^/(x) по формулам дифференцирования неявной функции и подставим ее в уравнение:

simplify → 0.

После подстановки уравнение обратилось в тождество, следовательно, общий интеграл вычислен верно.

Задание 3. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения в полных дифференциалах.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение (1+ , y(0) = 1.

Решение. Введем обозначения:

P(x,y) := 1 + , Q(x,y) := 1 - .

Покажем, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах:

→ ,

→ , следовательно, = .

Найдем частный интеграл уравнения:

u(x,y) := ,

u(x,y) → x + exp( ) – 2 + y.

Проверим правильность решения, т. е. покажем, что u(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

du(x,y,dx,dy) := ( )·dx + ( )·dy,

du(x,y,dx,dy) – (P(x,y)·dx + Q(x,y)·dy) simplify → 0.

Проверим начальное условие u(0,1) → 0.

Частный интеграл имеет вид: x + exp( ) – 2 + y = 0.

Лабораторная работа 10 (2 часа)

Задание 1. Спектральный анализ и синтез на основе рядов Фурье.

Ряд Фурье для интегрируемой на отрезке [-π, π] функции f(х), удовлетворяющей условиям Дирихле, имеет вид:

f(x) = .

Коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам Эйлера – Фурье:

a₀ = , a_n = , b_n = .

Пусть периодический сигнал представляется как функция времени f(t) на отрезке [0, T], где Т – период. В этом случае ряд Фурье принимает вид:

f(t) = .

Коэффициенты Фурье принимают вид:

a₀ = , a_n = , b_n = .

Часто используется следующая форма записи ряда Фурье:

f(t) = , где A_n = - амплитуда n–ой гармоники периодического сигнала, _n = -arctan( ) – фаза n-й гармоники.

Разложение функции на гармонические составляющие называется спектральным анализом. Восстановление приближения функции рядом Фурье, т. е. получение ее тригонометрического представления, называется спектральным синтезом. Гармоника с n = 1 называется основной или первой гармоникой сигнала. Остальные гармоники называются высшими и их периоды равны , где n = 2, 3, …

Таким образом, спектр периодических сигналов дискретный. У непериодических сигналов спектр будет сплошным, и вместо амплитуды гармоник он характеризуется спектральной плотностью сигнала.

Переход от некоторой функции f(t) к параметрам ее ряда Фурье (амплитудам и фазам гармоник) называется прямым преобразованием Фурье, а обратный переход – обратным преобразованием Фурье.

Если сигнал представлен в виде вектора дискретных значений, то применяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Для дискретного преобразования Фурье существует алгоритм эффективной реализации вычислений, называемый быстрым преобразованием Фурье (БПФ).

Для данных, представленных действительными числами, в системе Mathcad быстрое преобразование Фурье выполняет функция fft(v). Вектор v должен иметь 2^m составляющих, где m – целое число.

Элементы вектора, возвращаемого функцией fft(v) соответствуют формуле:

С₁ = , где n – число элементов вектора v, i – мнимая единица, k – индекс суммирования (от 0 до n – 1), j – номер гармоники (от 0 до ).

Эти элементы вектора соответствуют следующим частотам: f_j = f_s, где f_s – частота квантования сигнала. Элементы вектора, возвращаемого функцией fft(v), являются комплексными числами.

Функция ifft(v) реализует обратное (инверсное) преобразование Фурье для вектора v с комплексными числами. Вектор v должен иметь 1 + 2^m+1 элементов. При обратном преобразовании Фурье вычисляется вектор d с элементами, рассчитанными по формуле: d_j = , где вектор комплексно сопряженный с вектором v.

Для данных, представленных комплексными числами, быстрое преобразование Фурье выполняет функция сfft(A). Вектор A имеет комплексные значения. Если А – матрица, то реализуется двумерное преобразование.

Функция iсfft(A) выполняет обратное преобразование Фурье, при этом как исходные, так и результирующие векторы или матрицы, содержат элементы с комплексными значениями.

Прямое преобразование Фурье по существу, означает перевод временной зависимости в ее частотный спектр. Обратное преобразование Фурье переводит частотный спектр во временную зависимость.

Пример 1. Выполнить прямое и обратное преобразования Фурье над вектором из 8 комплексных элементов. Построить графики.

Решение. i := j := 0 . . 7

X := -исходный вектор. Y := cfft(X^T) - вектор, полученный в результате прямого преобразования Фурье. X1 := icfft(Y) – вектор, полученный в результате обратного преобразования Фурье.

Y := X1 =

Графики модулей комплексных значений компонент исходного вектора (Х) и вектора, полученного в результате прямого преобразования Фурье (Y).

Пример 2. Применение быстрого преобразования Фурье для спектрального разложения и синтеза прямоугольного импульса.

Зададается сигнал в виде прямоугольного единичного импульса:

i := 0 .. 127 q_i := 0

i := 8 .. 40 q_i := 1

Выполняется прямое преобразование Фурье: f := fft(q)

Задается максимальное число гармоник: k := 10.

Ограничение числа гармоник: j := 0 .. 64, g_j := if(j ≤ k, t_j, 0).

Функция if(cond, x, y) – условное выражение, которое возвращает выражение х, если условие cond > 0, и выражение у в остальных случаях.

Выполняется обратное преобразование Фурье: h := ifft(g).

Задается ранжированная переменная для построения графика: i := 0..127

Графики исходного и преобразованного сигналов:

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) спектра прямоугольного импульса (для вычисления амплитуд гармоник использовался оператор вычисления модуля):

Фазово-частотная характеристика (ФЧХ) спектра прямоугольного импульса (для вычисления фазы гармоник использовалась функция arg(x)):

Пример 3. Применение быстрого преобразования Фурье для спектрального разложения и синтеза импульса в виде бухтообразного возмущения горизонтальной компоненты геомагнитного поля.

Числовые значения исходного импульса (задаются на диске d в файле Primer.txt):

0 1 -28 -56 -85 -71 -63 -29 -35 -21 -21 -12.4 -1 2 2.7 10 5.4 3.2 -5.4 66 28.5 3 -0.5 -7 -16 6 5 -0.5 -3 -3 1 0 -9 -13 -15 -16 -21 -34 -41.4 -34 -34.5 -35 -37.7 -39 -35 -31 -41.5 -38 -25.3 -15 -13 -14 -28 -38 -75 -63 -20 -14 -11 -3 3 11 16 7.5

i := 0 .. 63 – задается ранжированная переменная i.

M : = READPRN(“d:\Primer.txt”) – вводится исходный массив.

z_i := M_0,I - формируется вектор z с исходными данными.

f := fft(z) – выполняется прямое преобразование Фурье.

j : = 0 .. 31 - задается ранжированная переменная j.

a := ifft(f) – выполняется обратное преобразование Фурье.

График исходного импульса (z) и восстановленного импульса (a) в результате обратного преобразования Фурье:

Амплитудно-частотная (| f |) и фазово-частотная (arg(f)) характеристики спектра импульса:

Р еальная (Re(f)) и мнимая (Im(f)) части спектра импульса: