Лабораторная работа 7 (2 часа)

Задание 1. Символьные операции с матрицами.

M := x := 2 M1 :=

M^T → M^T =

M1·M^T = M1·M^T →

M^-1 → M^-1 =

|M| → -22 |M| = -22

Использование директивы float (ключа расчета плавающей точки)

M^-1 float, 5 →

Задание 2. Символьное вычисление интегралов.

Применение директивы float позволяет получить значение интеграла в виде обычного вещественного числа с заданным числом знаков мантиссы после десятичной точки.

Пример 1. Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции.

simplify → Si(x)·exp(-a).

simplify → ·x²·ln(x) - ·x².

simplify → sin(x) - x·cos(x).

simplify → -ln(cos(x)).

Использовалась директива simplify (упрощение выражений).

Пример 2. Вычисление в символьном виде определенного интеграла.

simplify → .

Пример 3. Вычисление тройного интеграла.

float, 5 → 6.2832.

Задание 3. Символьное вычисление пределов функций.

Для вычисления пределов функции используется директива (оператор) limit. Директиву limit можно ввести в трех различных вариантах с наборной панели Calculus (Исчисление) меню Математика или нажатием следующих комбинаций клавиш:

1. Ctrl + L – ввод шаблона директивы вычисления предела функции при х. стремящемся к заданному значению;

2. Ctrl + Shift + A – ввод шаблона директивы вычисления предела функции слева от заданной функции;

3. Ctrl + Shift + B – ввод шаблона директивы вычисления предела функции справа от заданной функции.

Пример 1. Вычисление предела функции в точке х = 0.

Пример 2. Вычисление бесконечных пределов слева и справа от точки х = 2.

При вычислении пределов необходимо заполнить места ввода шаблона, при этом указываются функция, имя переменной, по которой ищется предел, и значение переменной. Для получения результата необходимо установить после блока вычисления предела оператор символьного вывода →. Если функция не имеет предела, то выводится сообщение об ошибке.

Задание 4. Вычисление производных обычным методом и ∆ - методом.

Лабораторная работа 8 (2 часа)

Задание 1. Применение преобразования Лапласа для решения дифференциального уравнения второго порядка.

Пример 1. Найти решение уравнения x^// + 4x^/ + 4x = sin(t), удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 1, x^/(0) = -1.

Решение. Переносим правую часть уравнения влево: x^// + 4x^/ + 4x - sin(t) = 0.

Отметив переменную t, выполняем в левой части уравнения прямое преобразование Лапласа. В результате получим:

s·(s·laplace(x(t),t,s)–x(0))- +4·s·laplace(x(t),t,s)–4·x(0)+4· laplace(x(t),t,s)- = 0

Введем обозначение L = laplace(x(t),t,s). Учитывая, что x(0) = 1 и x^/(0) = -1, получим:

s²·L – s +1 + 4·s·L – 4 + 4·L - = 0.

Решая это уравнение относительно переменной L, получим:

L = .

Отметив переменную s и произведя обратное преобразование Лапласа, найдем временную зависимость x(t), т. е. решение заданного уравнения в виде:

x(t) =

Пример 2. Решить уравнение вида: m· - k· = 0.

Решение. Отметив переменную t, выполняем в левой части уравнения прямое преобразование Лапласа. В результате получим:

m· - k·(s·laplace(y(t),t,s) – y(0) = 0

Ввести обозначения: L = laplace(y(t),t,s), C1 = y(0), C2 = diff(y(0),0).

Получим: m·L·s² - m·s·C1 - m·C2 - k·L·s + k·C1 = 0.

Решая это уравнение относительно переменной L, получим:

L =

Отметив переменную s и произведя обратное преобразование Лапласа, найдем временную зависимость y(t), т. е. решение заданного уравнения в виде:

y(t) = .

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях: x^// - 3x^/ + 2x = e^esin2t: x(0) = 1, x^/(0) = 0.

Решение.

Отметив переменную t, выполняем в левой части уравнения прямое преобразование Лапласа. В результате получим:

s·(s·laplace(x(t),t,s)–x(0))- -3·s·laplace(x(t),t,s)+3·x(0)+2·laplace(x(t),t,s)- =0.

Введем обозначение L = laplace(x(t),t,s). Учитывая, что x(0) = 1 и x^/(0) = 0, получим:

s²·L – s - 3·s·L – 4 +3 + 2·L - = 0.

Решая это уравнение относительно переменной L, получим:

L = .

Отметив переменную s и произведя обратное преобразование Лапласа, найдем временную зависимость x(t), т. е. решение заданного уравнения в виде:

x(t) = .

Задание 2. Решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

Решения дифференциальных уравнений первого порядка можно получить путем интегрирования дифференциальных уравнений.

Задача Коши в общем виде: y^/ = a(x)y + b(x), y(x₀) = y₀. Формула для решения задачи Коши имеет вид:

y(x) = y₀· + ·b(z)dz.

Пример 1. Дано дифференциальное уравнение y^/ + 2xy = x· ·sin(x) и начальное условие y₀ = 1. Требуется найти решение задачи Коши.

Решение. Найдем решение по формуле для задачи Коши.

y₀ :=1

y(x) := y₀·exp( ) + )·z·exp(-z²)·sin(z)dz

y(x) → exp(-x²) + (sin(x) - x·cos(x))·exp(-x²).

Проверка

+ 2·x·y(x) - x·exp(-x²)·sin(x) simplify → 0.

y(0) → 1.

Пример 2. Дано дифференциальное уравнение y^/ + y = arcsin(x) и начальное условие y₀ = 1. Требуется найти решение задачи Коши.

Решение. Найдем решение по формуле для задачи Коши.

y₀ :=1

y(x) := y₀·exp( ) + )· dz

y(x) → 2·exp(-asin(x)) -1 + asin(x).

Проверка

+ ·y(x) - simplify → 0.

y(0) → 1.