Лабораторная работа 5 (2 часа)
Задание 1. Решение систем линейных уравнений.
Рассмотрим решение систем линейных уравнений, заданных в матричном виде А·X = B, где А – квадратная матрица коэффициентов левой части системы, В – вектор свободных членов. Вектор неизвестных находится как Х = В·А-1, где А-1 – обращенная матрица А.
Пример 1.
Решим систему двух уравнений
А=
,
В =
,
Х =
1 способ.
Находим обратную матрицу А-1.
А-1
=
- используется команда Символика-
Матрица – Инверсировать.
· - используется команда Символика – Вычисление – Символически.
В
результате получаем решение системы в
виде
2 способ.
- используется
команда Символика
– Вычисление – Символически.
В результате получаем решение системы в виде
3 способ.
→
Пример 2.
Решить систему трех уравнений:
Решение:
.
Пример 3.
solve,
x,y,z
→
Задание 2. Решение систем нелинейных уравнений и неравенств.
Пример 1. ( Используется команда Символика - Переменная – Разрешить).
Решить неравенство x3-5·x2-4·x+20 > 0
В результате
получаем решение неравенства в виде:
Пример 2. (Используется команда Символика - Переменная – Разрешить).
Решить уравнение
=
0.
В результате получаем решение уравнения в виде:
Пример 3. (Используется функция Find в составе вычислительного блока Given).
Решить систему
уравнений:
Решение:
Given
x2+π·y = a 4·x+y = b
Find(x,y)→
Пример 4. (Используется функция Minner в составе вычислительного блока Given).
Решение: Given
x2 + y2 - r2 = 0 (x-a)2 + y2 = r2
Minerr(x,y)
→
Задание 3. Решение систем нелинейных уравнений, заданных в векторном виде.
Для решения нелинейных систем заданных в векторном виде используется команда Символика – Переменная – Разрешить (solve). Результат решения представляется также в векторном виде, и он может быть использован для дальнейших символьных вычислений.
Пример
1.
solve,
x,y
→
.
Пример
2.
solve,
x,y,z
→
.
Пример 3
solve,
x,y,z
→
.
Пример 4.
solve,
x,y,z
→
.
Лабораторная работа 6 (2 часа)
Задание 1. Применение типовых символьных операций expand (расширение выражений), solve (решение уравнений и неравенств), substitute (подстановка).
По отношению к исходному выражению можно применять операции неоднократно или применять различные операции.
Пример 1. Разложение синуса кратных углов.
sin(5·x)
→
16·sin(x)·cos(x)4
- 12·sin(x)·cos(x)2
+ sin(x)
Модификатор trig задает направление тригонометрических преобразований. Использовались ключ расширения expand и символическое вычисление ключа Ctrl+Shift+.
Пример 2. Решение в символьном виде квадратного уравнения.
a·x2
+ b·x + c solve, x →
Использовался ключ расширения переменной solve.
Пример 3. Решение в символьном виде квадратного уравнения.
2·x2
+ 3·x
- 4 solve,
x
→
.
Пример 4. Подстановка и вычисление выражения.
Задание 2. Применение типовых символьных операций simplify (упростить), series (разложить в ряд), laplace (выполнить преобразование Лапласа), complex (представить результат в комплексном виде).
Пример 1. Упрощение математического выражения.
simplify →
Использовался ключ упрощения выражения (simplify).
Пример 2. Разложение в ряд Тейлора функции f(x) = ex.
f(x) : =
exp(x) f(x) series, x =
0, 4 → 1 + x +
·x2
+
·x3.
Использовался ключ расширить в серии (series). Директива разложения в ряд Тейлора требует задания двух параметров – начального значения переменной х и количества членов ряда.
Пример 3. Разложение в ряд Тейлора функции f(x) = sin(x2).
f(x) : = sin(x2)
f(x) series, x = 2, 3 → sin(4) + 4·cos(4)(x – 2) + (-8·sin(4) + cos(4)) ·(x - 2)2.
Пример 4. Преобразование Лапласа функции f(x) = sin3(x).
f(x) : =
sin(x)3
f(x)
laplace, x →
.
Использовался ключ трансформации Лапласа (laplace). Директива преобразования Лапласа требует указания имени переменной.
Пример 5. Преобразование Лапласа функции f(x) = sin(2x).
f(x) : =
sin(2·x) f(x) laplace, x →
.
Пример 6. Преобразование Лапласа функции f(x) = х.
f(x) : = x
f(x) laplace, x →
.
Пример 7. Преобразование Лапласа функции f(x) = 1.
f(x) : = 1
f(x) laplace, x →
.
Пример 8. Преобразование Лапласа функции f(x) = exsin(2x).
f(x) : =
exp(x)·sin(x) f(x) laplace, x →
.
Пример 9. Вычисление комплексных корней алгебраического уравнения.
Использовались ключ решения переменной (solve) и ключ полного вычисления (complex). Директива решения уравнений solve требует указания имени переменной.
Задание 3. Применение типовых символьных операций complex (представить результат в комплексном виде), assume (присвоить переменным неопределенные значения), coeffs (выделить коэффициенты полинома).
Пример
1.
complex → i·
.
Пример
2.
sin(a·
)
complex → i·sinh(a·
).
Пример 3. (3a)b simplify, assume = real → 3a·b.
Используются ключ упрощения выражения (simplify), модификатор assume, Ctrl + =, модификатор real.
Пример 4.
Вычислить интеграл х
1 способ – символическое вычисление Ctrl + .
x·
→ x·
.
2 способ – использование ключа assume.
x·
assume, a =
real, a > 1 →
Пример 5. Выделение коэффициентов полинома.
4·x3
- 3·x2
+2·x
– 4 coeffs,
x
→
.