Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Методичка. Математические уравнения в геофизике...doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
1.4 Mб
Скачать

Лабораторная работа 4 (2 часа)

Задание 1. Матричные операции в MathCad.

Команды Символика – Матрица предназначены для проведения в символьном виде трех наиболее распространенных матричных операций: транспонирование матриц, создание обратных матриц, вычисление определителя матриц. Это команды в подменю Матрица меню Символика обозначены так: Переместить (транспонировать), Инверсировать (обратить), Детерминант (определитель).

Транспонирование матрицы - перестановка строк и столбцов. Подлежащая транспонированию матрица должна быть выделена.

Обращение матрицы – создание такой матрицы А-1, которая при умножении на исходную матрицу А дает единичную матрицу. Обращение допустимо только для квадратных матриц.

Например,

  1. Транспонирование матрицы

Исходное выражение Результат операции

  1. Обращение матрицы

Исходное выражение Результат операции

·

  1. Вычисление детерминанта матрицы

Исходное выражение Результат операции

a·d-b·c

-14

Задание 2. Интегральные преобразования Фурье.

Преобразования Фурье лежат в основе спектрального анализа и синтеза сигналов.

Прямое преобразование Фурье позволяет получить в аналитическом виде функцию частоты F(ω), если задана временная функция f(t). Для этого используется формула:

F(ω) =

Обратное преобразование Фурье задается следующей формулой:

f(t) =

Для выполнения преобразования Фурье используется команда Трансформация – Фурье меню Символика. Для обратного преобразования Фурье используется команда Трансформация – Инверсная Фурье (обратное преобразование Фурье) меню Символика.

Для выполнения команд преобразования следует записать исходное выражение и выделить в нем переменную, относительно которой будет проводиться преобразование.

Например,

Исходное выражение Результат операции

a·t (прямое преобразование Фурье) 2·1i·π·a·Dirac(1,ω)

2·1i·π·a·Dirac(1,ω) (обратное преобразование) a·t

t+2 (прямое преобразование Фурье) 2·i·π·Dirac(1,ω)+4·π·Dirac(ω)

2·i·π·Dirac(1,ω)+4·π·Dirac(ω) (обратное преобразование) t+2

Задание 3. Интегральные преобразования Лапласа.

Интегральные преобразования Лапласа лежат в основе методов расчета электрических цепей. Эти преобразования позволяют легко решать линейные дифференциальные уравнения. В этих преобразованиях фигурирует оператор Лапласа, который обозначается в в идее s = jw (иногда он обозначается как р). Оператор Лапласа позволяет переходить от уравнений с комплексными величинами к уравнениям с действительными величинами. Для выполнения этих преобразований служат команды Трансформация – Лапласа и Трансформация –Инверсная Лапласа меню Символика.

Прямое преобразование Лапласа позволяет по известной временной функции f(t) найти передаточную функцию F(s) по формуле:

F(s) = .

Обратное преобразование Лапласа позволяет по передаточной функции F(s) найти временную функцию f(t) по формуле:

f(t) =

Выражение F(s) должно иметь особенности слева от линии Re(s) = s.

Например,

Исходное выражение Результат операции

1-exp(- (прямое преобразование)

(обратное преобразование)

Результат обратного преобразования не всегда приводит к первоначальному результату.

1-t (прямое преобразование)

(обратное преобразование) 1-t

Задание 4. Интегральные Z - преобразование.

Применяются в теории автоматического управления и в различных сферах прикладной математики.

Прямое Z – преобразование реализуется выражением:

F(z) = .

Обратное Z – преобразование соответствует контурному интегралу:

f(n) = .

Для выполнения этих преобразований служат команды Трансформация – Z и Трансформация –Инверсная Z меню Символика.

Например,

Исходное выражение Результат операции

a·n (прямое преобразование) a·

a· (обратное преобразование) a·n

Задание 5. Символьные операции с применением оператора символьного вывода.

Специальный оператор символьного вывода имеет вид удлиненной горизонтальной стрелки, направленной вправо. Этот оператор можно вызвать нажатием комбинации клавиш Ctrl + . (точка) или из палитры математических символов (Панели ключевой символики).

В шаблоне оператора символьного вывода имеется место ввода, куда необходимо ввести исходное выражение. Если задать исходное выражение и вывести курсор из формульного блока, то после оператора символьного вывода система выведен результат символьных преобразований.

Используется также расширенный оператор символьного вывода, который задается нажатием комбинации клавиш Ctrl + Shift + . или выбором из палитры символьных операций (Панели ключевой символики).

В шаблоне оператора имеется два места ввода. В первое вводится исходное выражение, а во второе – одна из директив символьных преобразований. Директивы символьных преобразований задаются либо вводом соответствующих ключевых слов, либо выбором из палитры символьных операций.

Директивы символьного оператора.

- simplify – упрощение выражений;

- expand – разложение выражения по степеням;

- factor – разложение выражения на простые дроби;

- complex – преобразование в комплексной форме;

- assume – присваивание переменным определенного значения, а также задание ограничения на значения или тип переменных;

- series – разложение в ряд по заданным переменным;

- float – преобразование в формат чисел с плавающей точкой;

- literally - запрет символьного преобразования для последующего выражения;

- parfrac – разложение на элементарные дроби;

- coeffs – возвращение вектора с коэффициентами полинома;

- fourier – прямое преобразование Фурье;

- laplace – прямое преобразование Лапласа;

- ztrans – прямое Z – преобразование;

- infourier – обратное преобразование Фурье;

- invlaplace – обратное преобразование Лапласа;

- invztrans – обратное Z – преобразование;

- MT → - транспонирование матрицы;

- M-1 → - инвертирование матрицы;

- |M| → - вычисление детерминанта матрицы;

- Modifier – модифицированные команды:

- assume - вводное слово для приведенных ниже определений;

- real – для var = real – означает вещественное значение переменной var;

- RealRange – для var = RealRange(a, b) – означает принадлежность вещественной переменной var к интервалу [a, b];

- trig – задает направление тригонометрических преобразований.

Например,