Лабораторная работа 14 (3 часа)

Задание 1. Фильтрация аналоговых сигналов с помощью быстрого преобразования Фурье.

Под фильтрацией понимается выделение полезного сигнала из его смеси с машающим сигналом (шумом). Наиболее распространенный тип фильтрации – частотная фильтрация. Если известна область частот, занимаемых полезным сигналом, достаточно выделить этй область и подавить те области, которые заняты шумом.

i := 0 .. 127

q_i ;= sin( ) + cos( ) – в векторе q синтезируется двухчастотный сигнал, представленный 128 отсчетами.

s_i := q_i + rnd(2) – 1 – создается в векторе s сигнал с наложенной на него шумовой компонентой. Шум получается с помощью генератора случайных чисел.

Функция rnd(x) используется для генерации случайных чисел с равномерным распределением в интервале [0, x].

Графики синтезированного двухчастового сигнала q и с наложенной шумовой компонентой s:

Путем использования прямого быстрого преобразования Фурье сигнал с шумом s преобразуется из временной области в частотную, при этом создается вектор f из 64 частотных составляющих. Затем выполняется фильтрующее преобразование, эффективность которого оценивается параметром фильтра α. Отфильтрованный сигнал (вектор g) подвергается обратному быстрому преобразованию Фурье. В результтае чего создается выходной сигнал (вектор h).

α := 2.5 f := fft(s)

j := 0 .. 64 g_j := f_j·Ф(|f_j| - α)

h := ifft(g)

Графики временных зависимостей исходного сигнала (q) и выходного сигнала (h):

Задание 2. Цифровая фильтрация с помощью быстрого преобразования Фурье.

С помощью функции s(k, j) задан сигнал, содержащий низкочастотную (параметр L) и высокочастотную (параметр H) компоненты. Низкочастотная компонента задана в виде перепада, а высокочастотная компонента – в виде меандра.

L := 1 H :=8

s(k, j) ≡ if(mod( , 2) < 1, 1, -1)·Ф(15 – j)

i := 0 .. 15

j := 0 .. 31 x_j := 0.5·s(L, j) + s(h, j)

Функция mod(x, у) – определяет остаток от деления х на у, при этом аргументы х и у должны быть действительными числами, результат получается такой же, что и х.

Операция ≡ означает глобальное определение.

График низкочастотной График высокочастотной

компоненты: компоненты:

График сигнала, содержащего низкочастотную и высокочастотную компоненты:

Над сигналом выполнена фильтрующая операция в виде свертки из широполосного и узкополосного фильтров.

Функции откликов двух цифровых фильтров f (узкополосного) и g (широкополосного) получены с применением свертки с помощью быстрого преобразования Фурье.

f_j := 0.7^j·Ф(3 – j) g_j := (-1)^j·f_j

outf := icfft ( ) outg := icfft ( )

Операция является векторизацией скалярного произведения двух функций.

Узкополоный фильтр: Широкополосный фильтр:

Реализация узкополосной Исходный низкочастотный

фильтрации: сигнал:

Реализация широкополосного Исходный высокочастотный

фильтра: сигнал:

Литература:

1. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнение математической физики /M., Наука, 1977, 736 с.

2. Б.П. Демидович. Краткий курс высшей математики: Учебн. пособие для вузов / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. - М.: ООО "Издательство Всирель"; ООО "Издательство АСТ", 2001. - 656 с.

3. В.И. Смирнов. Курс высшей математики / Т 2, М., Наука, 1974, 656 с.

4. М.С. Жданов. Электроразведка: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1986. - 316 с.

5. В. Дьяконов Mathcad 2001: специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002. – 832 с.

Учебное пособие

Груздев Владислав Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ГЕОФИЗИКЕ

Практикум для вузов

Редактор

52