ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
В.Н. Груздев
Математические уравнения в геофизике
Практикум для вузов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2009
Утверждено научно-методическим советом геологического факультета
2009 г., протокол № 2 от 29 января 2009 г.
Рецензент доцент О.М. Муравина
Практикум подготовлен на кафедре геофизики геологического факультета Воронежского государственного университета
Рекомендовано для студентов геологического факультета Воронежского государственного университета, обучающихся на 2 курсе д/о.
Для специализации 020302 - Геофизика
На геологическом факультете ВГУ для студентов 2 курса дневного отделения специализации «Геофизика» по дисциплине "Математические уравнения в геофизике" в соответствии с федеральным стандартом и утвержденной учебной программой даются общие сведения по математическим уравнениям, используемым в теоретических обоснованиях геофизических методов разведки.
Данное методическое пособие содержит задания к лабораторным работам по математическим уравнениям с использованием системы компьютерной математики MathCad, и излагается порядок их выполнения.
Лабораторная работа 1 (3 часа)
Основные операции в системе MathCad.
“ – одна двойная кавычка – для ввода текстового комментария.
/ - знак деления.
\ - для ввода корня квадратного.
= - оператор вывода (или оператор первого присваивания).
^ - возведение в степень.
. – точка используется как разделитель целой и дробной части в десятичных числах.
* - знак умножения.
cos(5.0) – вычисление косинуса.
sin(5.0) – вычисление синуса.
: - вводится стандартный оператор присваивания : =.
Для изменения точности представления десятичных чисел подвести указатель курсора к числу и дважды щелкнуть левой кнопкой мыши. Появится окно форматирования чисел «Формат результата».
+ - оператор суммы.
& - для ввода шаблона определенного интеграла.
# - для ввода знака произведения ряда.
asin(0.5) – вычисление arcsin(0.5).
ln(5) – вычисление ln5.
In(2,.5) – вычисление функции Бесселя.
; - проставляет двоеточие .. .
2 + 3i - запись комплексных чисел.
n := 1..5 – запись ранжированных переменных (переменная n будет представлять целые числа от 1 до 5 с шагом 1. Доступ к каждому значению отдельно отсутствует.
m := 1, 1.25 .. 2 – запись ранжированной переменной со значениями 1, 1.25, 1.50, 1.75 и 2 (шаг равен 0.25).
ORIGIN := 1 – индексы элементов массива будут начинаться с 1, по умолчанию - с 0.
tn := n2 – задание одномерного массива, где n – ранжированная переменная.
Mi,j – элемент матрицы, расположенный в i – ой строке и в j – ом столбце.
M1,5 = 10 – вывод элемента матрицы.
Математическое выражение можно сделать пассивным, для этого надо его выделить и в контекстном меню выбрать команду Disable Evaluation (запретить выполнение). Для снятия с выражения статуса не вычисляемого достаточно выделить это выражение и выбрать команду Enable Evaluation (Разрешить выполнение) в контекстном меню.
Для прерывания вычислений используется клавиша Esc. Для возобновления вычислений необходимо нажать клавишу F9 или в панели инструментов щелкнуть на кнопке с изображением жирного знака равенства.
Для того, чтобы на графике отобразить несколько функций, необходимо их перечислить после первой функции в месте ввода возле оси У, отделяя выражения функций запятыми.
Z(x,y) := x2 + y2 – определение функции двух переменных для построения графика поверхности.
Окно форматирования графика появляется, если в область графика поместить указатель мыши и дважды щелкнуть левой кнопкой мыши.
Для вращения трехмерной графики, необходимо поместить указатель мыши в область графика, нажать левую кнопку мыши и перемещать мышь в нужном направлении. Если при этом нажать клавишу Ctrl, то можно удалять и приближать объект. Если при вращении объекта нажать клавишу Shift, то после отпускания левой кнопки мыши, объект будет продолжать вращаться.
Если в области графика щелкнуть правой кнопкой мыши, то появится контекстное меню, с помощью которого можно осуществлять различные операции форматирования графика.
Векторные и матричные операторы (V – вектор, M – матрица, Z – скаляр):
V1 + V2 (V1 + V2) – сложение двух векторов V1 и V2;
V1 - V2 (V1 - V2) – вычитание двух векторов V1 и V2;
-V2 (-V2) – смена знаков у элементов вектора V2;
V – Z (V – Z) – вычитание скаляра Z из всех элементов вектора V;
-М (- М) – смена знаков у элементов матрицы М;
Z*V или V*Z (ZV или VZ) – скалярное умножение вектора V на скаляр Z;
Z*M или M*Z (ZM или MZ) – скалярное умножение матрицы М на скаляр Z;
V1 * V2 (V1V2) – скалярное умножение двух векторов V1 и V2;
М * V2 (МV2) – скалярное умножение матрицы М на вектор V2;
М1 * М2 (М1М2) – скалярное умножение двух матрицы М1 и М2;
V/Z (
)
– деление всех элементов вектора V на
скаляр Z;
M/Z (
)–
деление матрицы М на скаляр Z;
M^n (Mn) – возведение матрицы М в степень n;
M^- 1 (M-1) – обращение матрицы М;
|V |V| – вычисление модуля вектора V;
|M |M| – вычисление определителя матрицы;
V Ctrl ! (VT) – транспонирование вектора V;
M Ctrl ! (MT) – транспонирование матрицы М;
V1 Ctrl*V2 (V1xV2) – векторное умножение двух векторов V1 и V2;
V1 Ctrl 4 (
)–
вычисление суммы элементов вектора V;
V Ctrl - (
)
– векторизация вектора V (одновременное
проведение некоторой скалярной операции
над всеми элементами вектора или
матрицы);
M Ctrl (
)
– векторизация матрицы М;
M Ctrl^n (M<n>) – выделение n – го столбца матрицы М;
V [ n (Vn) – выделение n – го элемента вектора V;
M [(m,n) (Mm,n) – выделение элемента (m,n) матрицы М;
V”, M” (
)
– получение комплексно сопряженного
вектора или матрицы.
[ - прямая, открывающаяся скобка используется для ввода индекса элемента массива или вектора.
. – точка используется для ввода индекса скалярной переменной, причем синий уголок курсора ввода должен охватывать все имя переменной, а не только область ввода.
Cимвольные вычисления
Команды, относящиеся к работе символьного процессора, содержатся в меню Symbolics (Символика).
Для выполнения символьных операций процессору необходимо указать, над каким выражением они должны проводиться, т. е. надо выделить это выражение. Для ряда операций необходимо указать переменную, относительно которой выполняется символьная операция, при этом само выражение не выделяется.
Символьные вычисления выполняются в командном режиме, если реализуются команды меню Символика.
Символьные вычисления могут проводиться с применением символьного оператора →.
Символьные вычисления в командном режиме выполняются только над явными выражениями (присутствие функций пользователя недопустимо). Результат вычислений может выводиться ниже исходного выражения, справа от него и вместо него. Способ вывода задается командой Evaluate Style (Стиль вычислений) меню Символика.
Если решение при символьных вычислениях очень сложное, то оно (по запросу системы) может быть помещено в буфер обмена для дальнейшей оценки его пользователем.
С выделенными выражениями допустимы следующие операции:
1. Evaluate (Выполнить - вычисление) – преобразование выражения с выбором в подменю вида преобразования.
2. Simplify (Упрощение) – упрощение выражения с выполнением таких операций как приведение подобных слагаемых, приведение дробей к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т. д.
3. Expand (Расширить или разложить по степеням) – раскрыть выражение.
4. Factor (Фактор – разложить на множители) – разложить число или выражение на множители.
5. Collect (Собрать – разложить по подвыражениям) – собрать слагаемые, подобные выделенному выражению, которое может быть отдельной переменной или функцией со своим аргументом, при этом результатом будет выражение, полиномиальное относительно выбранного.
6. Polynomial Coefficients (многономинальные коэффициенты – полиноминальные коэффициенты) – найти коэффициенты полинома по заданной переменной.
С выделенными переменными допустимы следующие символьные операции:
Используется подменю Variable (Переменная) меню Символика.
1. Solve (Разрешить) – решить уравнение или неравенство относительно выделенной переменной.
2. Substitute (Подставить) – заменить указанную переменную содержимым буфера обмена, т. е. сделать подстановку.
3. Differentiate (Дифференцировать) – дифференцировать все выражение, содержащее выделенную переменную, по отношению к этой переменной.
4. Integrate (Интегрировать) – интегрировать все выражение, содержащее выделенную переменную, по этой переменной.
5. Expand to Series (Расширить в серии – разложить в ряд) – найти несколько членов разложения выражения в ряд Тейлора, относительно выделенной переменной.
6. Convert to Partial Fraction (Обратить в частичную дробь – разложить на элементарные дроби) – разложить на элементарные дроби выражение, которое рассматривается как рациональная дробь, относительно выделенной переменной.
Символьные операции с выделенными матрицами:
Используется подменю Matrix (Матрица) меню Символика.
1. Transpose (Переместить – транспонировать) – получить транспонированную матрицу.
2. Invert (Инверсировать – обратить) – получить обратную матрицу.
3. Determinant (Детерминант – определитель) – вычислить детерминант (определитель) матрицы.
Символьные операции интегральных преобразований.
Используется подменю Transform (Трансформация – преобразование) меню Символика.
1. Fourier (Фурье – преобразование Фурье) – выполняется прямое преобразование Фурье относительно выделенной переменной.
2. Inverse Fourier (Инверсное Фурье – обратное преобразование Фурье) – выполняется обратное преобразование Фурье относительно выделенной переменной.
3. Laplace (Лапласа – преобразование Лапласа) – выполняется прямое преобразование Лапласа относительно выделенной переменной.
4. Inverse Laplace (Инверсия Лапласа – обратное преобразование Лапласа) – выполняется обратное преобразование Лапласа относительно выделенной переменной.
5. Z (Z – преобразование) – выполняется прямое Z преобразование выражения относительно выделенной переменной.
6. Inverse Z (Инверсная Z – обратное Z преобразование) – выполняется обратное Z преобразование относительно выделенной переменной.
Выделение объектов символьных операций.
Возможны два вида выделений выражений:
1. Выделение выражений пунктирной линией. Для этого необходимо или установить указатель мыши (крестик) на нужный объект, нажать клавишу Ctrl или Shift и щелкнуть левой кнопкой мыши, или заключить объекты в рамку выделения и отпустить кнопку мыши.
Выделение объектов пунктирной линией используется для перетаскивания объектов в
окне документа. Нажатие клавиши F3 ведет к переносу выделенных объектов в буфер обмена с удалением их из документа, а нажатие клавиши F4 – к вставке выражения из буфера обмена на место, указанное курсором.
2. Для выполнения операций символьным процессором нужно выделить выражение сплошной синей линией. Для выделения переменных в выражении нужно установить указатель мыши после этой переменной и щелкнуть левой кнопкой мыши. Переменная будет помечена синим уголком, расположенным следом за переменной. Перемещая указатель мыши над объектом при нажатой левой кнопке, можно выделить отдельные части выражения или выражение целиком. Для выделения частей выражения можно использовать клавиши перемещения курсора при нажатой клавише Shift.
Команды подменю Evaluate (Выполнить - вычисление):
1. Symbolically (Символически – Shift + F9) – выполняются символические вычисления выражения.
2. Floating (Плавающая точка) – выполняются арифметические операции в выражении, результат которых может быть представлен в форме числа с плавающей точкой.
3. Complex (Комплексно) – при выполнении вычислений результаты представляются в комплексном виде.
Задание 1. Cимволическое вычисление выражения.
Команда Символика – Вычисление – Символически обеспечивает обработку математических выражений, содержащих строенные в систему функции. Выражение может быть представлено в полиномиальном виде, дробно-рациональном виде, в виде сумм, произведения, производных, интегралов, матриц с символьными элементами.
Например,
Исходное выражение Результат операции
sin(
)
+ sin(1) 1 + sin(1)
asin(2) asin(2)
asin(2)
cos(x)
Si(x)
-ln(cos(x))
(2·8+4)/(6-2) 5
asin(0.5) 0.524
i·51/2
Задание 2. Упрощение математических выражений.
Команда Символика – Упрощение обеспечивает упрощение математических выражений, содержащих алгебраические и тригонометрические функции, а также выражения со степенными многочленами.
Например,
Исходное выражение Результат операции
sin(x)2 + cos(x)2 1
1
cos(x)
ln(ex) ln(exp(x))
Psi(x)
Si(1)·a
-864·x·
-
-Psi(1,k)
1