Методы верхней и нижней релаксации

При итерационном решении алгебраических уравнений или при полностью итерационной схеме, используемой для преодоления нелинейности, часто желательно от итерации к итерации ускорить или замедлить изменение зависимой переменной. Этот процесс называется методом верхней или нижней релаксации в зависимости от того, ускоряется или замедляется изменение функции.

Метод верхней релаксации часто используют в сочетании с методом Гаусса - Зейделя. Результирующая схема известна как метод последовательной верхней релаксации SOR. Использование метода верхней релаксации вместе с методом переменных направлений менее распространено.

Нижняя релаксация является очень удобным способом для нелинейных задач. Этот способ часто используется для того, чтобы избежать расходимости при итерационном решении сильно нелинейных уравнений. Существует много способов использования верхней и нижней релаксаций. Рассмотрим дискретный аналог общего вида в форме (4.3)

В дальнейшем Т^*_Р будет обозначать Т_Р с предыдущей итерации.

Использование коэффициента релаксации

Уравнение для дискретного аналога можно записать в виде

.

Если в правую часть добавить и вычесть Т^*_Р, получим

.

где в круглых скобках содержится изменение Т_Р, полученное на текущей итерации. Это изменение можно скорректировать введением коэффициента релаксации , при этом

(4.15)

или

Во-первых, следует отметить, что при сходимости итераций Т_Р становится равным Т^*_Р и из уравнения (4.15) следует, что полученное в результате итераций значение Т_Р удовлетворяет исходному уравнению (4.3). При сходящемся процессе окончательное решение хотя и получается с помощью произвольного коэффициента релаксации или другими подобными способами, но должно удовлетворять исходному дискретному аналогу.

Когда коэффициент релаксации  в (4.15) изменяется от 0 до 1, имеем нижнюю релаксацию, при которой Т_Р остается близким к Т^*_Р. Для очень малых значений  изменение Т_Р становится очень медленным. В том случае, когда >1, имеем верхнюю релаксацию.

Нет общих правил для выбора наилучшего значения . Оптимальное значение зависит от целого ряда факторов, таких, как физическая основа задачи, число узловых точек, шаг сетки, используемый итерационный метод. Обычно подходящее значение  можно найти из предварительных расчетов данной задачи.

Нет необходимости в течение всего расчета сохранять одно и то же значение . Это значение может изменяться от итерации к итерации. В действительности возможен (хотя это и не очень удобно) выбор различных значений  для каждой узловой точки.

Релаксация с использованием инерции

Другой метод релаксации использует замену дискретного аналога (4.3) на

(4.16)

где i - так называемая инерция. Для положительных значений i уравнение (4.16) представляет соотношение для нижней релаксации, а отрицательные значения i соответствуют верхней релаксации.

В этом случае также нет общих правил для определения оптимального значения инерции i; оно должно определяться в зависимости от особенностей задачи. Из уравнения (4.16) найдем, что i должно быть сравнимо с a_Р, и чем больше значение i, тем сильнее оно будет влиять на релаксацию.

Иногда решение стационарных задач получают, используя дискретные аналоги соответствующей нестационарной задачи. Таким образом, шаги по времени становятся итерациями и старые значения Т⁰_Р представляют просто значения Т^*_Р с предыдущей итерации. В этом смысле член a⁰_РТ⁰_Р имеет то же значение, что и член iT^*_Р в (4.16). Таким образом, инерция является аналогом коэффициента a⁰_Р в нестационарной задаче. Такая аналогия предлагает один из способов определения приемлемого значения i.

Кроме того, способ решения стационарных задач с помощью введения нестационарного члена может считаться просто частным случаем метода нижней релаксации. Чем меньше выбранный шаг по времени, тем сильнее результирующая нижняя релаксация. Отрицательное значение шага по времени t означает верхнюю релаксацию.

4-13