2D и 3d нестационарная теплопроводность Дискретный аналог для двух измерений

Часть двухмерной сетки показана на рисунке. Для узловой точки P соседние точки W и Е расположены по направлению оси x, точки N (North - север) и S (South - юг) — по направлению оси у.

КО, окружающий точку Р, показан штриховыми линиями. Глубина объема в направлении оси z равна 1. Вопрос расположения граней КО по отношению к узловым точкам остается все еще открытым. Расположить их точно посередине между соседними точками можно, но можно применить и другие способы. Полученный здесь дискретный аналог можно будет использовать в любом подобном случае.

Рис. 4.6 КО (заштрихованная область)

Выше было показано, как рассчитать тепловой поток на грани КО между точками Р и Е. Предположим, что полученное таким образом значение q_e распространено на всю поверхность площадью y*1. Интенсивность переноса теплоты через другие поверхности КО можно определить подобным образом. В этом случае дифференциальное уравнение для нестационарной 2D теплопроводности запишем в виде

. (4.9)

Дискретный аналог

, (4.10)

где ; ; ; ; ; ;   .

Произведение x*y*1 – объем КО.

Дискретный аналог для трех измерений

Для построения трех мерной конфигурации добавим еще точки Т (Top - верх) и В (Bottom - низ) на оси z (см. рис. 4.7). Дискретный аналог имеет вид

, (4.11)

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Рис. 4.6 Расположение точек для 3D дискретного аналога

Замечания:

1. Коэффициенты представляют собой проводимости, т.е. величины, обратные R между E … B и Р точками;

2. Член - внутренняя энергия (отнесенная к Δt), содержащаяся в КО в момент времени t;

3. b – сумма внутренней энергии и мощности тепловыделения в контрольном объеме;

4. Коэффициент а_р представляет собой сумму всех соседних коэффициентов (включая ) и вклад от линеаризованного источникового члена.

Особенности дискретных аналогов не в пдск

До сих пор дискретные аналоги записывались с помощью сетки в прямоугольной декартовой системе координат. Далее почти везде будет употребляться та же система координат, поскольку она обеспечивает удобства записи и легкость понимания. Однако излагаемые методы не ограничены сетками в декартовой системе координат, их можно использовать для сеток в любой ортогональной системе координат. Для иллюстрации записи дискретного аналога в другой системе координат рассмотрим двухмерную задачу в полярной системе координат. Аналогом уравнения (4.9) в полярной системе координат является следующее уравнение:

(4.12)

Рис. 4.7 Сетка и КО в полярных координатах

Сетка и КО в координатах r и показаны на рис. 4.7. Толщина КО в направлении оси z принимается равной единице. Для получения дискретного аналога умножим уравнение (4.12) на r и проинтегрируем соответственно по r и в пределах КО (эта операция дает интеграл по объему, так как представляет собой элемент объема единичной толщины). После преобразований получим дискретный аналог для нестационарной двухмерной задачи теплопроводности в полярной системе координат

, (4.13)

где ; ; , ; , ; .

Здесь (следует заметить, что может и не быть равным , если Р не лежит посередине между n и s). Т.е. особенностью является только геометрия. Для неортогональных сеток необходима более сложная запись дискретного аналога.