Дискретный аналог

Использовав для определения dT/dx в уравнении (4.1) кусочно-линейный профиль (см. рис. 4.3), получим

,

где - среднее значение S по КО.

Перепишем это уравнение в виде

, (4.2)

где , , , .

Величины и представляют собой не что иное, как тепловой поток на грани. Можно получить дискретный аналог, рассмотрев КО.

Примечания

1. Уравнение записано в стандартном виде, в котором мы будем представлять дискретные аналоги. В левой части этого уравнения находится температура в центральной узловой точке, а в правой - температуры в соседних точках и постоянная b. Как будет показано далее, в 2D и 3D случаях число соседних точек возрастет. В общем случае удобно представить уравнение в виде

, (4.3)

где индекс nb (nearby - близлежащий, соседний) обозначает соседние точки и суммирование производится по всем соседним точкам.

2. При выводе уравнения использовалось простейшее приближение для профиля, позволившее рассчитать dT/dx. Конечно, возможно применение множества других интерполяционных функций.

3. Нет необходимости использовать одинаковые профили для всех членов, одного уравнения. Например, если бы в уравнение входил дополнительный член, включающий Т, можно было бы применить для его аппроксимации ступенчатый профиль вместо кусочно-линейного профиля, использованного для определения dT/dx.

Основные принципы выбора интерполяционных функций и профилей

Указанная выше свобода выбора интерполяционных функций и профилей ведет к существованию множества способов получения дискретных аналогов уравнения. Предполагается, что при увеличении числа узловых точек решения всех дискретных аналогов исходного уравнения совпадают. Однако наложим дополнительное требование, которое приведет к сужению числа подходящих формул. Потребуем, чтобы решение, полученное даже на грубой сетке, во-первых, всегда имело физически правдоподобный характер а, во-вторых, сохраняло полный баланс.

Рис. 4.4 Исследование решений на физичность

Понять, насколько физично полученное решение, легко, по крайней мере, в простых случаях. Правдоподобное решения должно иметь такой же качественный характер, что я точное решение (см. рис. 4.4). В задаче теплопроводности без источников никакой профиль температуры не может выходить за пределы температур границ тела. При охлаждении нагретого твердого тела окружающей его жидкостью температура тела не может стать ниже температуры жидкости.

Мы будем всегда применять такие тесты к полученным дискретным аналогам уравнений.

Нестационарная одномерная теплопроводность Обобщенный дискретный аналог

Что касается общего дифференциального уравнения для Ф, то теперь мы умеем в одномерном случае аппроксимировать диффузионный и источниковый члены. Обратимся к нестационарному члену и временно опустим источниковый член. Таким образом, ищем решение нестационарного одномерного уравнения теплопроводности

(4.4)

В дальнейшем для удобства будем полагать постоянным. Поскольку время является однонаправленной координатой, решение получаем, передвигаясь во времени от заданного начального распределения температуры. Таким образом, на типичном временном шаге по заданным значениям Т в узловых точках для времени t надо определить значения Т для времени t+t. Старые (заданные) значения Т в узловых точках обозначим T_P⁰, T_E⁰, T_W⁰, а новые (неизвестные) значения для времени t+t — T_P¹, T_E¹, T_W¹.

Дискретный аналог получим путем интегрирования уравнения (4.4) по контрольному объему и по временному интервалу от t до t+t. Таким образом,

,

где пределы интегрирования выбраны в соответствии с физическим смыслом членов. Для представления члена дT/дt предположим, что значение T в узловой точке распространено на весь КО, тогда

Следуя способу аппроксимации члена дT/дt в стационарном случае, получаем

. (4.5)

На данном этапе необходимо ввести предположение относительно, изменения во времени от t до t+t температур Т_Р, Т_Е и T_W. Возможны различные предположения, и одно из них имеет следующий вид:

,

где f — весовой коэффициент, изменяющийся от 0 до 1. Используя аналогичные соотношения для интегралов от Т_Е до T_W из уравнения (4.5), находим

Преобразуя это выражение, опустим индекс 1 и запомним, что Т_Р, Т_Е и T_W с этого момента будут означать новые значения T для времени t+t. В результате имеем (4.6)

,

где , , ,