5. Угловые соотношения между прямыми в пространстве r3 Угол между двумя прямыми

П усть даны две прямые в пространстве (в общем случае они скрещиваются). Чтобы найти угол между ними, надо через произвольную точку M₀ пространства провести две прямые, параллельные этим прямым. Пересекаясь, полученные прямые образуют два смежных угла. Любой из них будем называть углом между прямыми. Ясно, что точно такой же угол получится и между направляющими векторами данных прямых, если эти векторы отложить из любой общей точки (рис. 11.16).

Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями:

, .

За угол между ними можно принять угол  между их направляющими векторами и .

Поэтому имеем

cos  = .

Отсюда найдём искомый угол .

Условие параллельности двух прямых

Прямые, определяемые каноническими уравнениями, параллельны тогда и только тогда, когда коллинеарны их направляющие векторы (рис. 11.17, а):

П усть , .

Следовательно, условием параллельности двух прямых служит пропорциональность соответствующих координат их направляющих векторов:

.

Условие перпендикулярности двух прямых

Ясно, что прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их направляющие векторы (рис. 11.17, б), значит, их скалярное произведение равно нулю:

= 0,  .

Вопросы на понимание основных понятий:

1. По какой формуле вычисляется угол между двумя прямыми?

2. Каково условие параллельности двух прямых?

3. Каково условие перпендикулярности двух прямых?

заключительная часть

Таким образом, на данной лекции были рассмотрены различные уравнения плоскости и прямой, а также условие соотношения между плоскостями и прямыми.

Повторить основные понятия:

1. Уравнения поверхностей и линий в пространстве;

2. Различные уравнения плоскости;

3. Угловые соотношения между плоскостями;

4. Уравнения прямой:

а) каноническое;

б) параметрическое;

в) через две точки;

г) прямая как линия пересечения двух плоскостей;

5. Угловые соотношения между прямыми R³.