Б) Параметрические уравнения прямой

Подставив в уравнение (11.7) координаты векторов , , и, выполнив предписанные линейные операции над векторами в координатной форме, получим {x, y, z} = {x₀, y₀, z₀} + {, m, n}t, или {x, y, z} = {x₀ + t, y₀ + mt, z₀ + nt}.

Равные векторы в одном и том же базисе имеют равные соответствующие координаты:

(11.9)

Таким образом, векторное уравнение (11.7) оказалось равносильным трём скалярным уравнениям (11.9), которые выражают закон изменения текущих координат x, y, z точки M (x, y, z), перемещающейся вдоль прямой L, в зависимости от изменения параметра t.

В связи с этим уравнения (11.9) называют параметрическими уравнениями прямой L, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) параллельно вектору .

Эти уравнения можно вывести и другим способом. Если к каноническим уравнениям (11.8) добавить еще одно:

,

то, переписав их в виде системы, получим:

В) Уравнения прямой, проходящей через две точки

Составим уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂).

Пусть M(x, y, z} – текущая точка прямой L (рис. 11.14).

Найдём направляющий вектор прямой, за который примем вектор : .

Т ак как  , то их координаты пропорциональны:

.

Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки.

Например, прямая, проходящая через точки М₁(2, -3, 4) и М₂(-1, -3, 6), будет определяться уравнениями:

или . Число 0 в знаменателе здесь означает, что направляющий вектор прямой = {-3, 0, 2} перпендикулярен вектору , т.е. оси Оу, значит, прямая параллельна плоскости xOz.

Из самих уравнений прямой видно, что она лежит на плоскости у + 3 = 0 или у = -3.

Г) Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Пусть в пространстве R³ задана декартова прямоугольная система координат О, . Рассмотрим систему уравнений первой степени:

(11.10)

Каждое из уравнений этой системы определяет в пространстве R³ плоскость. Если нормальные векторы

этих плоскостей не коллинеарны, то плоскости не будут параллельны и пересекутся в пространстве R³ по некоторой прямой L (рис. 11.15).

Координаты точки M(x, y, z), лежащей на прямой L, удовлетворяют каждому уравнению системы (11.10) и, наоборот, всякая точка M(x, y, z), координаты которой удовлетворяют уравнениям системы (11.10), лежит на линии пересечения плоскостей, определяемых этими уравнениями. В только что указанном смысле можно говорить, что система уравнений (11.10) определяет прямую, и такую систему уравнений называют общими уравнениями прямой.

Так как нормальные векторы и перпендикулярны плоскостям ₁ и ₂, то направляющий вектор прямой L, очевидно, будет перпендикулярен им обоим. Поэтому можно брать, например, =  [ ] =   , где  - любое действительное число, не равное нулю.

Пример11.5. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, определяемой уравнениями:

Решение. Найдём какую-либо точку прямой. Для этого одной координате придадим произвольное значение, например, z = 0, получаем систему

Из этой системы находим значения х и у: x = 3, y = 2. Следовательно, точка M₀(3, 2, 0) лежит на прямой.

За направляющий вектор прямой можно принять векторное произведение векторов = {1, -2, 3}, = {2, 1, -4}, нормальных к плоскостям, которые в пересечении дают прямую.

= .

Следовательно, канонические уравнения прямой запишутся в виде:

.

Добавляя еще одно уравнение, получим

- параметрические уравнения прямой.

Пример 11.6. Установить, определяют ли прямую линию уравнения:

Если определяют, то найти точку, лежащую на прямой, у которой z = 0.

Решение. Нормальные векторы = {2, -3, 5} и = {1, 3, -4} плоскостей, определяемых данными уравнениями, не коллинеарны, так как их координаты не пропорциональны:

.

Следовательно, система уравнений определяет прямую. Полагая в этих уравнениях z = 0, получим систему

Из этой системы найдём x = -2, y = 1.

Следовательно, M₀(-2, 1, 0) – искомая точка прямой.

Вопросы на понимание основных понятий:

1. Какое уравнение называется векторным уравнением прямой?

2. Какие уравнения называются каноническими уравнениями прямой?

3. Какие уравнения называются параметрическими уравнениями прямой?

4. Какие уравнения называются уравнениями прямой, проходящей через две точки?