41

Занятие 2.3. плоскость и прямая в пространстве

1. Уравнения поверхностей и линий в пространстве

Краткий опрос по основным понятиям, изложенным в предыдущей лекции:

1. Какое уравнение называется каноническим уравнением окружности?

2. Какое уравнение называется каноническим уравнением эллипса?

3. Какое уравнение называется каноническим уравнением гиперболы?

4. Какое уравнение называется каноническим уравнением параболы?

Г еометрическое место точек M(x, y, z) пространства R³, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f(x, y), представляет собой, очевидно, некоторую поверхность  (рис. 11.1). Иногда под поверхностью в пространстве подразумевают фигуру, у которой "толщина" несоизмеримо меньше двух других ее измерений. Уравнение поверхности может быть записано и в неявной форме: : F(x,y,z) = 0, а также в параметрической форме:

В о всех трех случаях разность между числом переменных n и числом уравнений m (эту разность называют числом степеней свободы) для поверхности составляет k = n – m = 2. Линию в пространстве можно понимать как траекторию движения L материальной точки М(x, y, z) в пространстве (рис. 11.2). Чаще всего для описания пространственной линии используют параметрические уравнения:

Иногда из этих уравнений удается исключить параметр t, останется 2 уравнения, например, в виде:

Каждое из уравнений такой системы представляет собой уравнение некоторой поверхности в пространстве. В таком случае под пространственной линией можно понимать геометрическое место точек пересечения двух поверхностей. Для обеих систем уравнений число степеней свободы k = n – m = 1.

В курсе аналитической геометрии рассматриваются 2 основные задачи:

1. Задано геометрическое место точек M(x, y, z), требуется составить уравнения, которым удовлетворяли бы координаты точек этого множества и не удовлетворяли бы никакие другие точки.

2. Обратная задача. Имеются некоторые уравнения, требуется определить, каким геометрическим фигурам они соответствуют, какими свойствами эти фигуры обладают.

2. Различные уравнения плоскости Общее уравнение плоскости

В ведем в пространстве R³ декартову прямоугольную систему координат О, , , и рассмотрим произвольную плоскость  (рис. 11.3).

Зафиксируем на этой плоскости какую-либо точку M₀(x₀, y₀, z₀) и обозначим через = {A, B, C} какой-либо неравный нулю вектор, перпендикулярный плоскости ,  .

Составим уравнение плоскости . Пусть M(x, y, z) - произвольная точка пространства R³. Радиус-векторы точек M₀(x₀, y₀, z₀) и M(x, y, z) обозначим через

и соответственно.

Точка M₀ (x, y, z) лежит на плоскости  тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен вектору , т.е. , или когда их скалярное произведение равно нулю:

. (11.1)

Равенству (11.1) удовлетворяет радиус-вектор любой точки M₀ (x, y, z) плоскости  и не удовлетворяет радиус-вектор всякой точки M, не лежащей на плоскости . В связи с этим равенство (11.1) называется векторным уравнением плоскости, проходящей через данную точку M₀(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно данному вектору = {A, B, C}. Вектор = {A, B, C} называют нормальным вектором плоскости .

Выражая в уравнении (11.1) скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов и , мы можем записать его в форме

A (x - x₀) + B (y - y₀) + C (z - z₀) = 0. (11.2)

Уравнение (11.2) называется скалярным уравнением плоскости , проходящей через данную точку M₀(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно данному вектору . Коэффициенты A, B, C этого уравнения, как мы видели, равны соответствующим координатам нормального вектора к плоскости .

Уравнение (11.2) можно представить в виде:

Ax + By + Cz + D = 0, (11.3)

где D = -Ax₀ – By₀ – Cz_0.

Из проведённого хода рассуждений следует, что уравнению (11.3) удовлетворяют координаты всякой точки M(x, y, z) плоскости  и не удовлетворяют координаты всякой точки, которая не лежит на плоскости .

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 11.1. В декартовой прямоугольной системе координат всякая плоскость определяется уравнением первой степени:

Ax + By + Cz + D = 0,

где, по крайней мере, одно из чисел A, B, C не равно нулю.

Придавая коэффициентам A, B, C и свободному члену D в уравнении (11.3) всевозможные действительные значения, мы будем получать различные плоскости, определяемые уравнением (11.3). В связи с этим уравнение (11.3) естественно называть общим уравнением плоскости.

Пример 11.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку M₀(3, -1, 2) перпендикулярно вектору , где M₁(4, -2, - 1).

Решение. Находим координаты вектора , нормального к плоскости. Составляем уравнение плоскости в форме (11.2), подставляя в него A = 1, B = -1, С = -3, x₀ = 3, y₀ = -1, z₀ = 2:

(x – 3) – (y + 1) – 3 (z - 2) = 0 или x – y – 3z + 2 = 0.