2.1. Нахождение длины дуги кривой, если линия задана параметрически

Если линия задана параметрическими уравнениями , то при выполнении некоторых условий длина дуги кривой , которая прочерчивается при изменении параметра в пределах   , рассчитывается по формуле:

, где  – значения, определяющие точки  и .

Пример 4. Вычислить длину дуги кривой

Решение. Аналитические условия задают левую верхнюю дугу астроиды.

Используем формулу .

Сначала найдём производные:

и упростим сумму их квадратов:

Тогда:

Здесь нельзя «машинально» избавляться от корня и необходимо придерживаться следующего правила:

, если функция  на промежутке , или , если  на данном промежутке.

Ответ:

Пример 5. Вычислить длину дуги кривой с точностью до двух знаков после запятой

Решение: используем формулу . Найдём производные: Таким образом: Примечание:  при любом значении . Ответ:

2.2. Нахождение длины дуги кривой, если линия задана в полярной системе координат

Пусть кривая  задана в полярных координатах уравнением , где , и при этом значение  определяет точку , а значение  – точку . Если на промежутке  функция  имеет непрерывную производную , то длина кривой  выражается следующей формулой:

Пример 6. Вычислить длину дуги кривой, заданную в полярной системе координат ,

Решение. Используем формулу .

Найдём производную по «фи»:

Составим и максимально упростим подкоренное выражение:

Заливаем топливо:

Используем формулу двойного угла  и основное тригонометрическое тождество :

Теперь нужно разобраться с функцией  на отрезке , чтобы правильно избавиться от корня. Мысленно представив график, видно, что функция здесь положительна, но это очевидно далеко не всем, и в этой ситуации можно использовать нечто похожее на метод интервалов. Вычислим значение функции в какой-нибудь промежуточной точке, например, посерединке в точке :

, а значит,  и в любой точке интервала . К слову, и на концах тоже.

Ответ:

Пример 7. Вычислить длину дуги кривой, заданную в полярной системе координат ,

Решение. Используем формулу: Ответ:

Задания для самостоятельной работы по теме "Вычисление длины дуги кривой"

1. Найти длину дуги кривой y = ln x, .

2. Вычислить длину дуги полукубической параболы y = x^3/2 от х = 0 до х = 5.

3. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат: , .

4. Найти длину первого витка спирали Архимеда  r = φ.

5. Найти длину одной арки циклоиды

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах

7. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат.

Ответы для самостоятельной работы по теме "Вычисление длины дуги кривой"

1. .

2. .

3. .

4.

5.

6. .

7. .

2.6. Применение определенного интеграла к решению физических и технических задач (12 часов) Применение определенного интеграла к решению физических и технических задач

Определенный интеграл помогает решать ряд физических и общетехнических задач, поэтому знания, полученные вами на этом уроке, помогут в вашей дальнейшей учебе и практической деятельности.