Задания для самостоятельной работы по теме "Вычисление объема тела вращения"

1. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:

2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:

3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:

4. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:

5. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:

6. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:

7. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:

8. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:

9. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:

10. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:

Ответы для самостоятельной работы по теме "Вычисление объема тела вращения"

1. 9π ед³

2. 18π ед³

3. ед³

4. ед³

5. ед³

6. 8π ед³

7. 30π ед³

8. 8π ед³

9. 7,5 ед³

10. ед³

Вычисление длины дуги кривой

Помимо нахождения объема тела вращения определённый интеграл позволяет рассчитать и другие показатели, в частности длину дуги кривой. Мы узнаем, как вычислить данную величину, если линия задана функцией , либо параметрически , или же уравнением  в полярной системе координат.

Пусть некоторая функция  непрерывна на отрезке , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой : В предположение о непрерывности производной  на , длина кривой  выражается формулой:

 или компактнее:

Согласно геометрическому смыслу, длина не может быть отрицательной, и это заведомо гарантируется неотрицательностью подынтегральной функции   (при разумеющемся условии ).

Таким образом, в данной задаче не возникает дополнительных хлопот по поводу того, как и где «петляет» график (выше оси, ниже оси и т.д.).

Пример 1. Вычислить длину дуги параболы  от точки  до точки

Решение: принимая во внимание «иксовые» координаты точек, определяем пределы интегрирования  и используем формулу:

Интеграл данного вида интегрируется по частям и сводится к себе. Сначала удобно найти первообразную:

Интегрируем по частям:

Таким образом:

Открываем одиночной «звёздочкой» основное решение и используем формулу Ньютона-Лейбница:

Ответ:

Пример 2. Вычислить длину дуги полукубической параболы  от точки  до точки .

Решение. Пределы интегрирования: . Из условия следует, что требуется вычислить длину дуги верхней ветви . Найдём производную: . По формуле: Ответ:

Пример 3. Вычислить длину дуги кривой ,

Решение. Найдём производную: Таким образом: (1) Используем тригонометрическую формулу (2) При вынесении из-под корня необходимо, чтобы подынтегральная функция осталась положительной: . Так как  на отрезке интегрирования, то: . Ответ: