Раздел 2. Начала математического анализа

(Самостоятельная работа 48 час.)

2.1. Производная неявной функции (4 часа).

Пример 1. Найти производную неявной функции

Решение. Так как у является функцией от х, то будем рассматривать y² как сложную функцию от х. Следовательно,  . Продифференцировав по х обе части данного уравнения, получим,   т.е. 

Пример 2. Найти производную неявной функции

Решение.  Дифференцируя по х обе части данного уравнения, получаем

т.е.

Пример 3. Найти производную неявной функции

Решение.  Дифференцируя по х обе части данного уравнения, получаем

т.е.

Пример 4. Найти производную неявной функции

Решение.  Дифференцируя по х обе части данного уравнения, получаем

Раскроем скобки

т.е.

Задания.

1. Рассмотреть и разобрать рассмотренные решения примеров на данные темы.

2. Найти производные следующих неявных функций:

а) 3х² у² – 5х + sin y = 3y – 1;

б) 3х⁴ у⁵ + е^{7х – 4у} = 4х⁵ + 2у⁴ ;

в) у sin х = cos (х – у).

2.2. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной (5 часа).

Правило нахождения экстремумов функции y = f(x) с помощью второй производной.

1. Найти производную f ’(x).

2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых

f ’(x) = 0.

3. Найти вторую производную f ’’(x).

4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x² – 2x - 3. Решение: Находим производную: f ‘(x) = 2x - 2. Решая уравнение f ’(x) = 0, получим стационарную точку х=1. Найдем теперь вторую производную: f ’’(x) = 2. Так как вторая производная в) = x² – 2x - 3. стационарной точке положительна, f’’(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: f_min = f(1) = -4. Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).

Задания.

1. Рассмотреть и разобрать рассмотренные решения примеров на данные темы.

2. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функции:

а) f(x) = 1 – х⁴ ;

б) f(x) = х³ - 1;

в) f(x) = .

2.3. Приложение производной к решению физических задач (11 часов).

2.4. Составление кросснамберов по теме «Определенный интеграл»

(4 часа).

2.5 Вычисление объема тела и длины дуги кривой (12 часов) Вычисление объема тела вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией , отрезком оси абсцисс и прямыми , вычисляется по формуле

.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией , отрезком оси ординат и прямыми , вычисляется по формуле

.

Пример 1. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

- ветвь параболы, расположенная выше оси OX, т.к. ;

- прямая, параллельная оси OY;

- ось OX.

При вращении криволинейной трапеции (рис.11) вокруг оси ох образуется тело вращения.

Т. к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси ох, то объём тела вращения вычислим по формуле .

По условию , т.е. , тогда При этом , т.е.

Тогда (ед³.)

Пример 2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

- гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных углах;

- прямая, параллельная оси OX;

- прямая, параллельная оси OX;

- ось OY.

При вращении криволинейной трапеции (рис.12) вокруг оси оу образуется тело вращения.

Т.к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси оу, то объём тела вращения вычислим по формуле .

По условию , т.е. , тогда .

При этом , т.е. .

Тогда

(ед³.)

Пример 3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

- парабола с вершиной в точке , симметрична относительно оси OY;

- парабола с вершиной в точке , симметрична относительно оси OX.

- прямая, параллельная оси OX;

- ось OY.

Рис. 13.

При вращении криволинейной трапеции (рис.13) вокруг оси OX образуется тело вращения.

По условию фигура вращается вокруг оси OX. Тогда искомый объём равен разности двух объёмов: объёма V_x1, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями и объёма V_x2, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями Т.о.

Вычислим .

Для V_x1: , при этом . Тогда

(ед³.)

Вычислим .

Для V_x2: ,т. е Тогда (ед³.)

Т.о. (ед³.)