5.5. Переход от канонических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.

Для решения некоторых задач канонические уравнения прямой в пространстве могут оказаться менее удобны, чем параметрические уравнения прямой в пространстве вида . А иногда предпочтительнее определить прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве через уравнения двух пересекающихся плоскостей как . Поэтому встает задача перехода от канонических уравнений прямой в пространстве к параметрическим уравнениям прямой или к уравнениям двух пересекающихся плоскостей.

От уравнений прямой в каноническом виде легко перейти к параметрическим уравнениям этой прямой. Для этого требуется каждую из дробей в канонических уравнениях прямой в пространстве принять равной параметру и разрешить полученные уравнения относительно переменных x, y и z:

При этом параметр может принимать любые действительные значения (так как переменные x, y и z могут принимать какие угодно действительные значения).

Пример. Прямая в трехмерном пространстве в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определена каноническими уравнениями прямой вида . Напишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение. Примем каждую из дробей равной : . Разрешив первое уравнение системы относительно переменной x, второе – относительно y, третье – относительно z, получим требуемые параметрические уравнения прямой:

Ответ.

Теперь покажем, как из канонических уравнений прямой получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих эту же прямую.

Двойное равенство по сути представляет собой систему из трех уравнений вида (мы попарно приравняли дроби из канонических уравнений прямой). Так как пропорцию мы понимаем как , то

Итак, мы получили .

Так как числа a_x, a_y и a_z одновременно не равны нулю, то ранг основной матрицы полученной системы равен двум, так как а хотя бы один из определителей второго порядка отличен от нуля.

Следовательно, из системы можно исключить уравнение, которое не участвует в образовании базисного минора. Таким образом, канонические уравнения прямой в пространстве будут эквивалентны системе из двух линейных уравнений с тремя неизвестными, которые и являются уравнениями пересекающихся плоскостей, причем линией пересечения этих плоскостей будет прямая, определяемая каноническими уравнениями прямой вида .

Для ясности приведем подробное решение примера.

Пример. Напишите уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую, заданную в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве каноническими уравнениями прямой .

Решение. Попарно приравняем дроби, составляющие канонические уравнения прямой в пространстве:

Последнее уравнение полученной системы можно исключить, так как оно верно для любых значений переменных x, y и z. Тогда . Уравнения системы представляют собой уравнения двух пересекающихся плоскостей, причем они пересекаются по прямой, канонические уравнения которой имеют вид .

Ответ.

Пример. Прямая в прямоугольной системе координат в пространстве задана каноническими уравнениями вида . Напишите уравнения двух пересекающихся по этой прямой плоскостей.

Решение. Приравняем попарно дроби, образующие канонические уравнения прямой:

Определитель основной матрицы полученной системы линейных уравнений равен нулю , а минор второго порядка отличен от нуля, примем его в качестве базисного минора. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений равен двум, причем третье уравнение системы не участвует в образовании базисного минора, то есть, третье уравнение можно исключить из системы. Следовательно, . Так мы получили требуемые уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих исходную прямую линию.

Ответ.