4.3. Частные случаи параметрических уравнений прямой в пространстве.

В параметрических уравнениях прямой в пространстве вида одно или два из чисел могут быть равными нулю (одновременно все три числа быть равными нулю не могут, так как направляющий вектор прямой всегда ненулевой). Сейчас рассмотрим подробнее эти частные случаи параметрических уравнений прямой.

Если , то параметрические уравнения прямой примут вид . Этим уравнениям в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве соответствуют прямые, лежащие в плоскости (эта плоскость параллельна координатной плоскости Oyz), так как абсцисса любой точки этой прямой равна .

Если или , то имеем параметрические уравнения прямой в пространстве вида или соответственно. Эти уравнения определяют в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве прямые, которые лежат в плоскостях или соответственно.

При и имеем параметрические уравнения прямой и соответственно. Прямые, определяемые такими параметрическими уравнениями, параллельны координатным осям Oz, Oy и Ox соответственно (или совпадают с этими координатными осями при и соответственно). Это достаточно очевидно, если записать координаты направляющих векторов каждой из прямых.

Пример. Напишите параметрические уравнения прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, если прямая проходит через точку параллельно координатной оси Oy.

Решение. Так как прямая, уравнения которой нам требуется написать, параллельна оси ординат, то ее направляющим вектором можно взять координатный вектор . Теперь записываем искомые параметрические уравнения прямой .

Ответ.

4.4. Переход от параметрических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.

Существуют различные виды уравнений прямой в пространстве. В зависимости от условий решаемой задачи, которая связана с прямой линией в прямоугольной системе координат в пространстве, иногда приходится переходить от одного вида уравнений прямой к другому.

Сейчас мы покажем как из параметрических уравнений прямой получить канонические уравнения прямой в пространстве вида и уравнения двух пересекающихся плоскостей вида , определяющих заданную прямую.

Получить канонические уравнения прямой в заданной прямоугольной системе координат в пространстве при известных параметрических уравнениях прямой не представляет сложности. Для этого нужно разрешить каждое из параметрических уравнений прямой относительно параметра и приравнять правые части полученных равенств:

Пример. Перейдите от параметрических уравнений прямой к каноническим уравнениям прямой в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Решение. Перепишем исходные параметрические уравнения прямой в виде . Разрешим каждое из них относительно параметра и приравняем правые части полученных равенств:

Ответ.

Теперь давайте разберемся, как получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые бы задавали прямую, соответствующую параметрическим уравнениям прямой вида .

Начнем с самых простых случаев.

Если , то параметрические уравнения прямой имеют вид . В этом случае очевидно, что прямая является линией пересечения плоскостей и .

Аналогично, если , то параметрические уравнения прямой задают прямую линию, по которой пересекаются две плоскости и . При , прямая задается двумя пересекающимися плоскостями и .

Пример. Напишите уравнения двух плоскостей, которые пересекаются по прямой, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве параметрическими уравнениями .

Решение. Из заданных параметрических уравнений прямой мы можем сразу записать уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих эту прямую: .

Ответ.

Переходим к следующим случаям.

Если , то параметрические уравнения прямой примут вид . Уравнение первой плоскости очевидно - . Для получения второго уравнения плоскости нужно разрешить второе и третье параметрические уравнения относительно параметра и приравнять правые части:

Аналогично поступаем, если или .

Пример. Получите уравнения двух плоскостей, которые пересекаются по прямой, определяемой в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве параметрическими уравнениями .

Решение. Уравнение первой плоскости очевидно: . Уравнение второй плоскости получим, отталкиваясь от первого и третьего параметрических уравнений прямой:

Ответ.

Остался не рассмотрен один случай – когда . При этом следует разрешить каждое параметрическое уравнение прямой относительно параметра и попарно приравнять правые части:

Тогда приходим к трем уравнениям пучка плоскостей с линией пересечения, определяемой параметрическими уравнениями прямой . Нам достаточно двух из трех уравнений плоскостей пучка.

Пример. Напишите уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую линию, которая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве задана параметрическими уравнениями вида .

Решение. Разрешим параметрические уравнения прямой относительно параметра :

После попарного приравнивания правых частей равенств имеем

Берем любые два из трех полученных уравнений плоскостей.

Ответ.