7.2. Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пример. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки .

Решение.

Первый способ решения. По координатам заданных точек вычисляем координаты векторов и :

Найдем векторное произведение векторов и , при этом не будем подробно расписывать вычисление определителя:

Следовательно, нормальным вектором плоскости, проходящей через три заданные точки, является вектор .

Теперь записываем уравнение плоскости, проходящей через точку (можно взять точку М₂ или М₃) и имеющей нормальный вектор . Оно имеет вид . Так мы получили общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Второй способ решения. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , записывается как . Из условия задачи имеем . Тогда

Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид .

Ответ. .

В заключении рассмотрим решение примера, в котором требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, которые лежат на одной прямой. Сразу отметим, что эта задача не корректна (то есть, имеет не единственное решение), так как существует бесконечное множество плоскостей, проходящих через заданную прямую. Обычно такие задачи получаются из-за опечатки в условии. Такую задачу мы приводим лишь для того, чтобы вы посмотрели, что происходит при ее решении разобранными способами, и знали, как быть в этом случае.

Пример. В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы три точки . Составьте уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Решение.

Воспользуемся первым способом решения. Вычисляем координаты векторов и : . Находим векторное произведение векторов и : .

Так как , то векторы и коллинеарны, следовательно, заданные точки лежат на одной прямой. Таким образом, поставленная задача имеет бесконечное множество решений, так как любая плоскость, содержащая прямую, на которой лежат точки М₁, М₂, М₃, является решением задачи.

Если будем решать эту задачу вторым способом, то получим:

Мы приходим к тождеству, из которого можно заключить, что заданные точки лежат на одной прямой.

Если Вам все же захочется написать уравнение какой-нибудь плоскости (из их бесконечного числа), проходящей через три точки , то следует выполнить следующие действия:

• написать уравнения прямой М₁М₂ (прямой М₁М₃ или М₂М₃),

• взять некоторую точку , координаты которой не удовлетворяют уравнениям прямой М₁М₂,

• составить уравнение плоскости, проходящей через три различных и не лежащих на одной прямой точки М₁, М₂ и М₄.

Глава 2. Прямая в пространстве.

1. Прямая в пространстве - необходимые сведения.

1.1. Прямая в пространстве – понятие.

В разделе прямая на плоскости мы дали представление о точке и прямой на плоскости. Прямую линию в пространстве следует представлять абсолютно аналогично: мысленно отмечаем две точки в пространстве и проводим с помощью линейки линию от одной точки до другой и за пределы точек в бесконечность. Все обозначения точек, прямых и отрезков в пространстве аналогичны случаю на плоскости.

Вообще, прямая линия целиком принадлежит некоторой плоскости в пространстве. Это утверждение вытекает из аксиом:

• через две точки проходит единственная прямая;

• если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Существует еще одна аксиома, которая позволяет рассматривать прямую в пространстве как пересечение двух плоскостей: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.